2024北京交大附中高一（下）期中数学试题及答案.docx

试题

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试题

2024北京交大附中高一（下）期中

数学

2024.04

说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.

一?选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.的值等于（）

A. B. C. D.

2.若角的终边过点，则（）

A. B. C. D.

3.已知扇形的弧长为，圆心角为，则此扇形的面积是（）

A. B. C. D.

4.向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若向量，则实数（）

A. B. C.1 D.2

5.下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（）

A. B.

C. D.

6.在中，，，且，则（）

A. B. C. D.

7.函数在区间上的图像为（）

A. B. C. D.

8.已知函数，则“”是“是偶函数，且是奇函数”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9.已知向量共面，且均为单位向量，，则的最大值是（）

A. B. C. D.

10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（）

A.4 B.6 C.8 D.10

二?填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）

11.写出一个与向量共线的单位向量_____________.

12.已知函数的部分图象如图，则__________.

13.已知函数的图象过点，则__________.，若将函数图象仅向左平移个单位长度和仅向右平移个单位长度都能得到同一个函数的图象，则的最小值为__________.

14.已知边长为2的菱形中，，点满足，点为线段上一动点，则的最大值为______.

15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素，音调?响度?音长和音色.它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是..给出下列四个结论：

①函数不具有奇偶性；

②函数在区间上单调递增；

③若某声音甲对应的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度小；

④若某声音乙对应的函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉.

其中所有正确结论的序号是__________.

三?解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.如图，在中，，E是AD的中点，设，.

（1）试用，表示，；

（2）若，与的夹角为，求.

17.已知函数

（1）求的最小正周期；

（2）求函数的单调递增区间；

（3）若函数在区间内只有一个零点，直接写出实数的取值范围.

18.已知.

（1）若（为坐标原点），求与的夹角；

（2）若，求的值.

19.已知函数，且图像的相邻两条对称轴之间的距离为，再从条件①?条件②?条件③中选择两个作为一组已知条件.

（1）确定的解析式；

（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立？若存在，求实数的取值范围：若不存在，请说明理由.

条件①：的最小值为；

条件②：图像的一个对称中心为；

条件③：的图像经过点.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

20.对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.

（1）分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）：

①；

②.

（2）若为阶梯函数，求的所有可能取值；

（3）已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.

参考答案

一?选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.【答案】D

【分析】根据特殊角的三角函数值得到，从而可求解.

【详解】由题意可得，故D正确.

故选：D.

2.【答案】A

【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.

【详解】因为角的终边过点，所以，所以.

故选：A

3.【答案】B

【分析】由条件结合弧长公式求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式可得答案．

【详解】因为扇形的