数理方程5贝塞尔函数.ppt

性质4.阶贝塞尔方程：解：根据整数阶贝塞尔方程的求解，可得同理，可求得另外一个特解：根据Bessel函数之间的递推关系，可求得任意半奇数阶Bessel函数。由此可以推广到半奇数因此方程的通解为阶贝塞尔方程的求解01可得：02由此可递推出：根据递推公式：性质5初值性质6零点分布问题转化为求解贝塞尔函数的特征值问题：1节中，通过两次分离变量，我们已将求解圆盘的温度由5.3节可得，贝塞尔方程的通解为：（n为正整数时，Jn与J-n线性相关，不能组成方程的通解。）根据自然边界条件：可得中，B=0.故：再根据可得：因此，必须要计算Jn(x)的零点。性质6零点有无穷多个关于原点对称分布的零点；和的零点相间分布；的零点趋于周期分布，几乎是以为周期的周期函数。故贝塞尔方程的本征值为：与本征值对应的本征函数为：根据零点的结论，方程的解为：性质7、贝塞尔函数的正交关系n阶Bessel函数序列在区间上带权正交，即称其中为n阶贝塞尔函数的第m个零点，即为n阶贝塞尔函数的模。01取其解的两个值02分别代入原方程得03正交性的证明：先将n阶贝塞尔方程写成如下形式上面两式分别乘两式相减，并对从0到积分，得贝塞尔函数模方的证明：01由公式02可得：03当时，上式右端的极限为0/0，利用洛必达法则可计算该极限：04NanjingUniversityofPostsandTelecommunications*数学物理方程主讲：周澜E_mail:zhoul答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃103室南京邮电大学、理学院、应用物理系第五章贝塞尔函数讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程。5.1贝塞尔方程的引入设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。稳恒状态热传导问题—欧拉方程。瞬时状态圆盘上的热传导问题—贝塞尔方程。讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.问题归结为求解如下定解问题：令，代入方程得进而得求V改用极坐标，在极坐标系下，V的问题可以写成再次分离变量,令，代入化简得亥姆霍兹方程（Helmholtz）本征函数本征值，引入参数本征值问题将代入另一方程得:n阶贝塞尔方程.由条件得:由温度是有限的，得:原问题就转化为求贝塞尔方程在条件下的特征值和特征函数.做代换,并记方程转化为这是n阶贝塞尔方程的标准形式.5.2贝塞尔方程的求解用x表示自变量,y=y(x)表示未知函数,则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或者复数,我们仅讨论的情形.方程有如下形式的级数解：其中为常数。将此级数解代入原方程中可得到：代入方程确定系数和：逐项求导,有要使上式恒成立，各项x的幂的系数必须全为0情形1n不为整数由于a1=0,则选取由得（由分部积分公式可证）：因此这样，得到方程的一个特解称为阶第一类贝塞尔函数(n=0).取指标得方程的另一特解当n不为整数时,和线性无关．所以方程的通解可以表示为结论：如果选取得到当n不为整数时,和线性无关．称为n阶第二类贝塞尔函数或者钮曼函数,方程的通解也可表示为订正书上126页2.当p为正整数时，有Gamma函数的定义与性质(见附录A)5.3n为整数时贝塞尔方程的通解1.递推公式：(1)由得：（２）取n=N,在中