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一 矩阵的相似变换与正交矩阵 4 矩阵的基本变换 X=B-1AB Q*Q=I, 且QQ*=I Q=orth(A) 正交矩阵 A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; Q=orth(A) norm(Q*Q-eye(3)) ans = 1.0140e-015 【例2-6】 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的正交矩阵 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 二 矩阵的三角分解 A=LU 其中 4 矩阵的基本变换 【例2-7】 A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; [V,D]=lu(A) V = 1.0000 0 0 0 0.3125 0.7685 1.0000 0 0.5625 0.4352 1.0000 1.0000 0.2500 1.0000 0 0 D = 16.0000 2.0000 3.0000 13.0000 0 13.5000 14.2500 -2.2500 0 0 -1.8889 5.6667 0 0 0 0 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的LU分解 4 14 15 1 4 矩阵的基本变换 三 矩阵的奇异值分解 ATA=0, AAT=0 其中A为任意的nxm矩阵 理论上有 rank(ATA)=rank(AAT)=rank(A) 奇异值定义 其中?i为非负特征值 4 矩阵的基本变换 【例2-8】 A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1] [L, N, M]=svd(A) 16 2 3 13 5 11 10 8 A= 9 7 6 12 的奇异分解 4 14 15 1 条件数： cond(A) 4 矩阵的基本变换 矩阵分解 qr(A)： 矩阵的QR分解 lu(A)： 矩阵的LU分解 eig(A)： 求特征值和特征向量 svd(A)： 矩阵的奇异值分解 chol(A)：矩阵的Cholesky分解（A=T’*T，T为正定上三角矩阵） 4 矩阵的基本变换 符号对象的定义 f=sym(expr) % 表达式expr转换为符号对象 syms(‘arg1’,’arg2’,…) % 将arg1,arg2定义为符号变量 syms arg1 arg2 … % 上面的简化（变量间只能用空格隔开） 例： y=sym(‘2*sin(x)*cos(y)’) syms x1 x2 x3 x4 z=sin(x1)*cos(x2)+cos(x1)*sin(x2) simple(z) A=[x1 x2;x3 x4] DA=det(A) 5 符号运算 基本命令 findsym(expr) % 确定表达式expr中所有符号为自变量 findsym(expr,n) % 确定表达式expr中靠x最近的n个自变量 例： syms a x y z t findsym(sin(pi*t)) findsym(x+i*y-j*z,1) findsym(x+i*y-j*z,2) findsym(x+i*y-j*z,3) 5 符号运算 基本命令 R=vpa(A) % 对表达式A求值 R=vpa(A,d) % d为输出数值的