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第十三单元 随机变量及其分布 * 知识体系 第一节 离散型随机变量及其概率分布 1. 基本概念 (1)随机变量：随着试验结果的 的量叫做随机变量，通常用字母X,Y,ξ,η,…表示. （2）离散型随机变量：所有可能的取值都能 的随机变量叫做离散型随机变量. （3）离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取的值 为 取每一个值 (i=1,2,…,n)的概率P(X= )= ,则称表 为离散型随机变量X的概率分布列，或称为离散型随机变量X的分布列. … … P … … X 不同而变化 一一列出 2. 离散型随机变量的基本性质 （1） ; (2) . 3. 二点分布 如果随机变量X的分布列为 则称X服从参数P的二点分布. 4. 超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X=k}发生的概率为 P（X=k）= ,k=0,1,2,…,m, ≥0(i=1,2,…,n) 1-P P P 0 1 X 其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*，称分布列 为 .如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X . … P l … 1 0 X 超几何分布列 服从超几何分布 题型一 随机变量的概念 【例1】写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义. （1）一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ; (2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y. 典例分析 分析 (1)所取三个球中，可能有一个白球，也可能有两个白球，还可能没有白球. （2）投掷结果为（i,j）,其中1≤i≤6,1≤j≤6,其中i,j∈N,投掷结果用X,Y表示. 解 (1)ξ可取0,1,2. ξ=0表示所取三球没有白球; ξ=1表示所取三球是1个白球，2个黑球; ξ=2表示所取三球是2个白球，1个黑球. （2）X的可能取值有2,3,4,5,…,12,Y的可能取值为1,2,3,…,6.若以(i,j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数,则 X=2表示（1，1）; X=3表示（1，2），（2，1）; X=4表示（1，3），（2，2），（3，1）; … X=12表示(6,6); Y=1表示（1，1）; Y=2表示（1，2），（2，1），（2，2）; Y=3表示（1，3），（2，3），（3，3），（3，1），（3，2）; … Y=6表示（1，6），（2，6），（3，6），…，（6，6），（6，5），…，（6，1）. 学后反思 研究随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义，明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础. 举一反三 1. 已知下列四个命题： ①某机场候机室中一天的游客数量为X； ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X； ③某水文站观察到一天中长江的水位为X； ④某立交桥一天经过的车辆数为X. 其中不是离散型随机变量的是（ ） A. ①中的X B. ②中的X C. ③中的X D. ④中的X 解析: ①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故X不是离散型随机变量. 答案: C 题型二 求离散型随机变量的分布列 【例2】已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球.设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列. 分析 本题主要考查互斥事件、独立事件离散型随机变量的分布列，考查运用概率的知识解决实际问题的能力. 解 ξ可能取的值为0,1,2,3, ∵P(ξ=0)= , P(ξ=1)= 又∵P(ξ=3)= , ∴P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3) = . ∴ξ的分布列为 p 3 2 1 0 ξ 学后反思 求概率分布（分布列）的一般步骤为： （1）明确随机变量的取值范围; （2）搞清楚随机变量取每个值对应的随机事件，求出随机变量取每个值对应的概率值; （3）列出分布列（一般用表格形式）; （4）检验分布列（用它的两条性质验算）. 举一反三 2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号1,2,3,4,5,6,现从中