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§4 静电场的环路定律和高斯定律 一、静电场的环路定律 ----静电场环路定理 路径闭合时 静电场是保守场 1. 在匀强电场中 平面S的法矢与场强成 ? 角 平面S与场强垂直 则 则 二、电场强度通量——电通量 电通量：通过电场中任一给定面的电场线条数，即为该面的电场强度通量。用符号“?E”表示。 通过ds上的E可以看作是均匀的！ 在S上任取一小面积元dS 当S是一个闭合曲面时 通量?E是标量，但有正负之分 2. 在非匀强电场中，对任意曲面S 当S是一个闭合曲面时 规定：对闭合曲面，规定自内向外的方向为各个面元法线的正方向 的法线正方向的规定： 当电场线穿出时， ，电通量为正； 当电场线穿入时， ，电通量为负。 推论：对以q为中心而 r不同的任意球面而言，其电通量都相等 三、高斯定律 d?E与q有无直接的关系呢？ 以+q所在点为球心，以任意长r为半径画闭合球面s，则球面s上各点电场强度： 则 简证 1. 点电荷q激发的电场通过闭合球面的电通量 以 q为中心作一球面S’ 根据电场线的连续性，通过S’的电场线都通过S 可见，电通量与闭合曲面的形状无关 高斯面——假想的任意的闭合曲面 2.点电荷q的电场通过任意闭合曲面S的电通量 电场线穿出为正、穿入S为负，且电场线连续，即电场线数相等，则 3. 点电荷q在闭合曲面S的外面，即高斯面内不包含点电荷时，通过任意闭合曲面S的电通量 可见，高斯面外的电荷对?E是没有贡献的 对qi： 在S内 在S外 设有n个点电荷，其中k个包含在高斯面s面内，n-k个在高斯面s面外，则： 4. 点电荷系通过高斯面的电通量 即： 高斯定律 即 讨论： ?(?)为电荷面(体)密度，S(V)为高斯面所围面(体)积 高斯定律：通过静电场中任一闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以?0，而与闭合曲面外的电量无关。 （1）对连续分布的带电体，高斯定律变为： ②高斯面上的场强 是总场强，它与高斯面内外电荷都有关，是矢量 ①电通量ΦE只与高斯面内所包围的正负电荷代数和有关，与高斯面外电荷无关，是标量 （2）真空中的静电场是“有源场” 当 ，?E0，即有电场线从正电荷发出并穿出高斯面；反之当 ，?E0，则有电场线穿入高斯面并终止于负电荷 （3）E与ΦE有本质区别 电场线从正电荷出发到负电荷终止，是不闭合的曲线 高斯定律是静电场的一条普遍定理，它反映了静电场的有源性质。它有许多应用，在大学物理中高斯定理的一个重要应用就是计算电场强度。 用高斯定律计算场强的条件：带电体的场强分布要具有高度的对称性（即带电体电荷分布必须具有高度对称性或高度对称性的组合）。 点对称或球对称（如：均匀带电球体、均匀带电球面、点电荷等）；面对称（如：无限大均匀带电平面等）；轴对称（如：无限长均匀带电直线、无限长均匀带电园柱等）。 四、高斯定律的应用 1. 利用高斯定律求场强的一般步骤 分析电场所具有的对称性质 选择适当形状的闭合曲面为高斯面，即巧作高斯面 计算通过高斯面的电通量 计算高斯面所包围的总电荷量，并令电通量等于高斯面内的电荷代数和除以?o，求出电场强度 2. 巧作高斯面 高斯面要通过所求场强的点 高斯面上（或部分面上）各点的 E = 常量 高斯面的形状必须简单，使θ= 0、π/2、π 同心球面 圆柱形闭合面 长方形闭合面 3. 常用高斯面 解：带电球体的电场分布具有球对称性 取与球体同心球面为高斯面，高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向一致 r?R时： 或 [例1-1]求均匀带正电球体内外的场强分布。设球体半径为R，带电量为Q。 rR时： 得 或 [例1-2]半径为R的均匀带电球体，带电量为Q。求电势分布。 Q R r 解：由电势定义法 当 r≤R 时： 当 rR 时： q R 当 r≤R 时： 当 rR 时： 解：电场的分布具有面对称性 高斯面取为两底与板面对称平行，侧面与板面垂直的圆柱形闭合面 方向垂直于板面向外 得 [例2]求均匀带正电的无限大平面薄板的场强分布。设电荷面密度为? 。 解：电场分布具有轴对称性，任一点处的场强方向垂直于棒辐射向外 以棒为轴作半径为r、长为h的圆柱闭合面为高斯面 由高斯定理有 或 [例3]求均匀带正电的无限长细棒的场强分布，设棒的电荷线密度为?。