第4章真空中的静电场.doc

第4章　　真空中的静电场 4－1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。 解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为 ＝方向由q指向-4q。 4－2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。 解：（1）如图7－2 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝(d(，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则 则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为 ＝方向沿(轴正向。 （2）如图7－2 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y ， 因， 代入上式，则 ＝，方向沿x轴负向。 ＝ 4－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。 解：如图，在半环上任取dl=Rd(的线元，其上所带的电荷为dq=(Rd(。对称分析Ey=0。 ，如图，方向沿x轴正向。 4－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为， 两线间的相互作用力为 如图，方向沿x轴正向。 4－5 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为 相互作用力最大的条件为 由上式可得：Q=2q，q=Q/2 4－6 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。 解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为 dq在o点产生的电场据（7－10）式为 ， 。如图，方向沿y轴负向。 4－7 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。 解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0， 即 4－8 求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。 解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为 得 （rR） (rR) 4－9 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为ρ，求板内外的电场分布。 解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为xd/2和xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有 得 4－10 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为，ρ0为常数。求场强分布。 解： 据高斯定理 时： 时： （2） （3）再把内球接地，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带－q/，外表面带q/－q。 得： 4－12 一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2rR)，试证明球形空腔中任意点的电场强度为匀强电场，其方向沿带电球体球心O指向球形空腔球心O/。 证明：利用补缺法，此空腔可视为同电荷密度的一个完整的半径为R 的大球和一个半径为r 与大球电荷密度异号完整的小球组成，两球在腔内任意点P产生的电场分别据〔例7－7〕结果为 , E=E1+E2= 上式是恒矢量，得证。 4－13 一均匀带电的平面圆环，内、外半径分别为R1、R2，且电荷面密度为σ。一质子被加速器加速后，自圆环轴线上的P点沿轴线射向圆心O。若质子到达O点时的速度恰好为零，试求质子位于P点时的动能EK。（已知质子的带电量为e，忽略重力的影响，OP=L） 解：圆环中心的电势为 圆环轴线上p点的电势为 质子到达O点时的速度恰好为零有 = 4－14 有一半径为R的带电球面，带电量为Q，球面外沿直径方向上放置一均匀带电细线，线电荷密度为λ，长度为L（LR），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。 解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=(dr，据（7－23）式带电球面在电荷元处产生的电势为 电荷元的电势能为: 细线在带电球面的电场中的电势能为： *4－15 半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心