函数性质(教师版).doc

1． 3.1　单调性与最大(小)值(一) 学习目标 1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性． 预习自测 1．一般地，设函数f(x)的定义域为I： (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数． (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数． (3)如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．a.0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为. 3．k0时，y＝kx＋b在R上是增函数． 4．函数y＝的单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞) . 　　　　　 一、利用图象求单调区间 例1　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 分析　由函数的图象来确定函数的单调性是一种直观、简单的方法，若图象从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的． 解　 图(1) (1)∵f(x)＝3|x| ＝ 图象如图(1)所示． f(x)在(－∞，0]上是减函数， 在[0，＋∞)上是增函数． (2)∵f(x)＝ 图(2) 其图象如图(2)所示． 由此可知：y＝f(x)在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数． y＝f(x)在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． 点评　函数的单调区间可以是开的，也可以是闭的，也可以是半开半闭的，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也单调．因此，只要单调区间端点使f(x)有意义，都可以使单调区间包括端点．但要注意，不连续的单调区间必须分开写，不能用“∪”符号连接它们． 变式迁移1　写出下列函数的单调区间． (1)f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)； (2)f(x)＝＋1. 解　(1)a0时，递增区间为， 递减区间为； a0时，递增区间为， 递减区间为. (2)f(x)=，如图所示： ∴单调递增区间为(0，+∞)， 递减区间为(-∞，0)． 　　　 二、利用定义证明函数的单调性 例2　证明函数f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数． 分析　证明的关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积形式． 证明　设0x1x21， f(x1)－f(x2)＝－ ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)＋＝， ∵0x1x21，∴x1－x20，x1x2－10，x1x20. ∴f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)． ∴f(x)＝x＋在(0,1)上是减函数． 点评　证明函数的单调性的常用方法是利用函数单调性的定义．其步骤为(1)取值(注意x1、x2的任意性)；(2)作差变形(目的是便于判断符号)；(3)判断差的符号；(4)写出结论． 变式迁移2　(1)例1中若区间改为(1，＋∞)，单调性如何改变？ (2)利用单调性的定义证明函数y＝在(－1，＋∞)上是减函数． (1)解　单调递增 (2)证明　设x1x2－1， 则y1－y2＝－＝， ∵x1x2－1，∴x2－x10，x1＋10，x2＋10， ∴0.即y1－y20，y1y2， ∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数． 　　　　　 三、函数单调性的应用 例3　已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围． 分析　解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解． 解　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2 ＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x＝1－a. ∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数， ∴对称轴x＝1－a. 必须在直线x＝4的右侧或与其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. 点评　已知函数的单调性求参数的取值范围，要注意数形结合思想，采用逆向思维． 变式迁移3　本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？ 解　由题意知，f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]， ∴1－a＝4，∴a＝－3. 1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域． 2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，