2018年中考（贵阳）数学专题复习试题：二次函数综合题.doc

二次函数综合题 类型一　线段、周长最值问题 ★1.如图，抛物线y＝－x2－x＋与x轴交于A，C两点(点A在点C的左边)，直线y＝kx＋b(k≠0)分别交x轴，y轴于A，B两点，且除了点A之外，该直线与抛物线没有其他任何交点． (1)求A，C两点的坐标； (2)求k，b的值； (3)设点P是抛物线上的动点，过点P作直线y＝kx＋b(k≠0)的垂线，垂足为H，交抛物线的对称轴于点D，求PH＋DH的最小值，并求出此时点P的坐标． 第1题图 解： (1)令y＝0，即－x2－x＋＝0， 解得x1＝－3，x2＝1， ∵点A在点C的左边， ∴A(－3，0)，C(1，0)； (2)把A(－3，0)代入y＝kx＋b，得－3k＋b＝0，解得b＝3k， 联立， 得－x2－x＋＝kx＋b，即x2＋(2＋4k)x－3＋4b＝0， ∵直线y＝kx＋b与抛物线有唯一公共点， ∴b2－4ac＝(2＋4k)2－4(4b－3)＝0， 把b＝3k代入(2＋4k)2－4(4b－3)＝0，得 (2＋4k)2－4(12k－3)＝0， 解得k1＝k2＝1， ∴b＝3； (3)如解图，过点H作HG⊥对称轴于点G，过点P作PF⊥对称轴于点F，设直线AB与对称轴交于点E，对称轴与x轴交于点M， 由抛物线解析式知，对称轴为x＝－1， 第1题解图 由(2)知，直线AB的解析式为y＝x＋3， 由直线AB知∠EAO＝∠EHG＝∠AEM＝∠FPD＝∠PDF＝45°， 当x＝－1时，y＝x＋3＝2，即E(－1，2)，[来源:学科网] 设P(x，－x2－x＋)，则PF＝FD＝－1－x， ED＝EM＋MF＋FD ＝2－(－x2－x＋)＋(－1－x) ＝x2－x＋， PD＝FD＝(－1－x)， ∴DH＝HE＝ED＝(x2－x＋)， ∴PH＋DH＝DH－PD＋DH＝2DH－PD＝(x2－x＋)－(－1－x)＝x2＋x＋， 当x＝－＝－1时，PH＋DH取得最小值，最小值为＝. ★2.如图，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经过A、B两点． 第2题图 (1)求A、B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值． 解：(1)∵直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B、C两点， ∴B(3，0)，C(0，)， ∴OB＝3，OC＝， ∴tan∠BCO＝＝， ∴∠BCO＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACO＝30°， ∴tan30°＝＝，即＝，解得AO＝1， ∴A(－1，0)； (2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋经过A，B两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋； (3)∵MD∥y轴，MH⊥BC， ∴∠MDH＝∠BCO＝60°， 则∠DMH＝30°， ∴DH＝DM，MH＝DM， ∴△DMH的周长＝DM＋DH＋MH＝DM＋DM＋DM＝DM， ∴当DM有最大值时，其周长有最大值， ∵点M是直线BC上方抛物线上的一点， ∴可设M(t，－t2＋t＋)， D(t，－t＋)， ∴DM＝－t2＋t＋－(－t＋)＝－(t－)2＋， ∴当t＝时，DM有最大值，最大值为， 此时DM＝×＝， 即△DMH周长的最大值为. ★3.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1. (1)求抛物线解析式； (2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)．当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标； (3)首尾顺次连接点O、B、P、C构成多边形的周长为L，若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O、B移动后的坐标及L的最小值． 第3题图 解：(1)令y＝0，得x2－bx－c＝0， 由根与系数的关系可知m－2＋2m＋1＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c， 又∵抛物线的对称轴为x＝＝1，即b＝2， ∴m－2＋2m＋1＝2，解得m＝1， ∴c＝3， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3； (2)由可得：x2＋(k－2)x－1＝0， ∴x1＋x2＝2－k，x1x2＝－1， ∴|x1－x2|＝＝≥2， 当k＝2时，|x1－x2|取到最小值2， 此时x1＝－1，x2＝1， ∴直线解析式为y＝2x＋2， ∴M(－1，0)，N(1，4)； 第3题解图 (3)如解图，设平移后的O、B两点为O′和B′，以O′B′、PB′为边作平行四边形P′O′B′P，则有PB′＝P′O′，PP′＝O′B′，再将C点以x轴为对称轴对称到C′点，连接P′C′，O′C′，则有O′C′＝O′C，∴CO′＋PB′＝P′O′＋O′C′