泰勒公式在高等数学中的应用研究定稿..doc

泰勒公式在高等数学中的应用研究 曾璐 数学与信息科学学院 数学与应用数学 1229S002 【摘要】本文主要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的泰勒展式在高等数学应用中的六个问题，即用泰勒公式求极限，证明不等式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值、泰勒公式在常微分方程数值求解及敛散性判断中的应用。 【关键词】极限 不等式 近似计算 敛散性 高阶导数及常微分方程,。 1 引言 泰勒公式是高等数学中一个重要的公式，它有带皮亚诺余项和带拉格朗日余项两种形式。这两种形式对解决高等数学中的一些复杂的问题有很大的帮助，下面对它具体的应用进行分析，以此来说明泰勒公式的基本思想及其重要性。 2 基本知识点 2.1 泰勒公式介绍 由一般的函数,它在某点存在有阶导数，我们把求得的各阶导数组合，则可以重新构成一个次多项式为： ， 这个多项式称为函数在该点处的泰勒(Taylor)多项式,其中每一项的系数被称为多项式的泰勒系数。 如果一般的函数如果在某点处存在到阶导数，这时构成新的一个多项式： 它为函数在该点处的泰勒公式，而为泰勒公式的余项。 2.2 麦克劳林公式的推导 以上提到的泰勒公式是在任意点处得到的，如果点是一个特殊的点，那函数是否可得到新的一个多项式组合。我们以时来进行推导： 当时，可得原函数的泰勒公式转变为新的形式，如下： 所以当时的函数的泰勒公式就是函数的麦克劳林（Maclaurin）公式。 利用以上的麦克劳林公式，可间接的求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式。 例1 求在处的泰勒公式。 解：由于， 由已知函数泰勒公式 则， 例2 写出函数 在时的幂级数展开式。 解：该函数不是基本初等函数，所以应先换为基本初等函数的形式，再利用 已知的基本初等函数的泰勒展式进行展开。 ， 根据已知的函数展开式得，； 所以时： 所以函数在的幂级数展开式为： 3 泰勒公式的六个应用 3.1 应用一——求极限 对比较复杂函数的极限运算,可用已知的基本函数的泰勒展式来代替,让原来的函数变的简单并且是我们熟悉的,这样就能容易的求出. 例3 求极限 解：本题可以用已学过的求极限的方法（洛必达法则）来求解，只是计算量较大，计算过程中易出错。在这里我们采用泰勒公式来求解。由于极限式的分母为，所以进行变换可得： 所以 例4 求极限 解：本题也是利用已知初等函数的泰勒展式来进行变换，因为极限的分母是，所以可得到： 则 利用等价无穷小量进行转换，可得极限 3.2 应用二——证明不等式 若证明的不等式比较复杂，特别是不等式中既有多项式又有初等函数的，对这样的不等式不能再应用移项、判号方法来证明，可以利用已知的条件对其构造一个新的函数，然后利用初等函数已知的泰勒公式来替换，再对这个新的函数进行证明。 例5 证明不等式，其中 证明： 构造，当，即 ， ，，，， 由泰勒公式得，当时， ，其中 所以在时，不等式成立。 例6：证明不等式，其中 证明：构造，，有 ，，，， 由泰勒公式得，当时， ， 所以在时，不等式成立。 3.3 应用三——近似运算 利用泰勒公式对一些函数的近似运算,就是利用函数的在的泰勒展式得到的，实质就是函数的麦克劳林展式，即： ，期误差项为 例7 lg11准确到 解： 由于 所以； 期误差不超过 例8 估计，的绝对误差。 解：由原式可建立新的函数， 所以 例9 求的绝对误差。 解：从题我们可以看出被积函数的泰勒展式很容易求得： 根据题意我们取到处，则 ， 这样原积分就近似的转换为： 可得出，所以其实的近似值的误差是很小的，我们也可以通过Matlab来验证函数与 的误差 由图我们可以看出两个函数之间的误差为两曲线间的面积，在区间[0,0.5]两曲线几乎重合，由此可知用泰勒公式来进行误差非常小，几乎达到完全精确的程度。 3.5 应用五——某高阶导数在一些点的值 已知函数的泰勒展开式,通过函数展开式我们可知的系数是,然而很容易我们就可求出该函数在某阶导数的值。不需要在逐一求导，那样会让计算变的复杂。 例10 函数，则求， 解：函数的泰勒展式是已知的，即： ，所以： ， ， ， 所以 例11 设，求， 解：由已知的泰勒公式： ，由此可得：