圆周运动中的临界问题.doc

圆周运动中的临界问题 一、水平面内圆周运动的临界问题 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。 1、与绳的拉力有关的临界问题 例1 如图1示，两绳系一质量为的小球， 上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为 与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧， 当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？ 2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为的物体，的中心与圆孔距离为， 并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件可让处于静止状态。（） 3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题 二、竖直平面内圆周运动的临界问题 对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。 1、轻绳模型过最高点 如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。 临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。 （1） （刚好到最高点，轻绳无拉力） （2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球， 绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整 的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（） 2、轻杆模型过最高点 如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。 临界条件：由分析可知，小球在最高点的向心力是由重力和轻杆（管壁）的作用力的合力提供的，如果在最高点轻杆（管壁）对小球的作用力与重力刚好平衡，那么此时外界提供的向心力为零，即小球过最高点的瞬时速度可以为零，所以小球过最高点的临界速度为。 （1），轻杆（管壁）对小球有向上的支持力，且 （2），轻杆（管壁）对小球有向上的支持力，由，可得，随的增大而减小， （3），重力单独提供向心力，轻杆（管壁）对小球没有力的作用 （4），轻杆（管壁）对小球施加向下的拉力（压力），由，可得，且随着的增大而增大 例5、如图5所示，半径为，内径很小的光滑半圆管竖直放 置，段平直，质量为的小球以水平初速度射入圆管。 （1）若要小球能从端出来，初速度多大？ （2）在小球从端出来瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速度各应满足什么条件？ 3、汽车过拱桥 如图所示，汽车过拱形桥顶时，由汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力提供其最高点的向心力，由，可得，由此可见，桥面对汽车的支持力随着汽车速度的增大而减小，如果速度增大到某一个值，会出现桥面对汽车的支持力为零，即是汽车安全过拱桥顶的临界速度。 （1），汽车不会脱离拱形桥且能过最高点 （2），因桥面对汽车的支持力为零，此时汽车刚好脱离桥面做平抛运动 （3），汽车将脱离桥面，非常危险 例6、如图6所示，汽车质量为，以不变的 速率通过凸形路面，路面半径为，若要让汽车安全 行驶，则汽车在最高点的临界速度是多少?如果汽车通过最 高点的速度刚好为临界速度，那么接下来汽车做什么运动， 水平运动的位移是多少？（） 例题1． 解析：（1）当角速度很小时，和与轴的夹角都很小，并不张紧。当逐渐增大到时，才被拉直（这是一个临界状态），但绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为， 则有： 将已知条件代入上式解得　 （2）当角速度继续增大时减小，增大。设角速度达到时，（这又是一个临界状态）， 则有： 将已知条件代入上式解得　 所以当满足 ，两绳始终张紧。 本题所给条件，说明此时两绳拉力都存在。 则有： 将数据代入上面两式解得　，　 注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。 如果时，，与轴的夹角小于。 如果时，，与轴的夹角大于。 例题2 解析：由分析可知，如果平面不转动，会被拉向圆孔，即不能处于静止状态。当平面转动的角速度较小时，与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势，此时水平面对的静摩擦力方向背向圆心，根据牛顿第二定律， 对于有：，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此