2025年高考数学一轮总复习第2章函数第4讲幂函数与二次函数.pptx

;第四讲幂函数与二次函数;知识梳理·双基自测;知识梳理·双基自测;知识梳理

知识点一幂函数

1．幂函数的定义

一般地，函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．;2．常见的五种幂函数的图象;3．幂函数的性质

(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

(2)当α0时，幂函数的图象都过点______和_______，且在(0，＋∞)上单调递增；

(3)当α0时，幂函数的图象都过点________，且在(0，＋∞)上单调递减；

(4)当α为奇数时，y＝xα为________；当α为偶数时，y＝xα为_______.;知识点二二次函数

1．二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝________________.

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为________.

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的_________.;2．二次函数的图象和性质;b＝0;归纳拓展

一元二次不等式恒成立的条件：

(1)“ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a0，且Δ0”．

(2)“ax2＋bx＋c0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a0，且Δ0”．;双基自测

题组一走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”);题组二走进教材;3．(必修1习题3.1T6改编)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为()

A．[－6,2] B．[－6,1]

C．[0,2] D．[0,1]

[答案]A

[解析]函数f(x)＝－2x2＋4x的图象开口向下，关于直线x＝1对称，在x＝1取得最大值2，在x＝－1取得最小值－6.故选A.;4．(必修1P58T6改编)已知f(x)＝x2－2025x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于()

A．2025 B．－2025

C．0 D．10025

[答案]C;题组三走向高考

5．(2022·上海卷)下列幂函数中，定义域为R的是();6．(2013·浙江卷文，7,5分)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()

A．a0,4a＋b＝0 B．a0,4a＋b＝0

C．a0,2a＋b＝0 D．a0,2a＋b＝0

[答案]A;考点突破·互动探究;幂函数图象与性质——自主练透;2．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为();[答案]D

[解析]幂函数y＝xα，当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0α1时，图象上凸，∴0m1.当α0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－12n，则－1n0.综上可知，－1n0m1.;A．abc B．acb

C．cab D．bca

[答案]B;4．已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围是________.

[答案](－∞，1];名师点拨：

1．幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

2．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．

3．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.;二次函数的图象与性质;[解析]解法一：利用“一般式”解题．

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．;解法二：利用“顶点式”解题．

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．

∵f(2)＝f(－1)，;解法三：利用“零点式”解题．

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.;名师点拨：

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：;【变式训练】

1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象的对称轴是直线x＝1，并且图象过点P(－1,7)，则a，b的值分别是()

A．2,4 B．－2,4

C．2，－4 D．－2，－4

[答案]C;又图象过点P(－1,7)，

所以a－b＋1＝7，即a－b＝6②，

联立①②解得a＝2，b＝－4.;2．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点(－1,0)，(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为()

A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5