计算在10g+22h=117条件下ab最大值的方法.doc

已知10g+22h=117,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算gh在10g+22h=117条件下的最大值。

主要公式：

1.sin2a+cos2a=1；

2.ab≤eq\f((a+b)2,2)；

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换h=eq\f(117-10g,22)，得到关于g的函数，再配方并根据二次函数性质得gh的取值范围。

gh=aeq\f(117-10g,22)

=-eq\f(1,22)(10g2-117g)

=-eq\f(5,11)(g2-eq\f(117,20)a)

=-eq\f(5,11)(g-eq\f(117,20))2+eq\f(13689,880),

则当g=eq\f(117,20)时，gh有最大值为eq\f(13689,880)。

思路二：判别式法

设gh=p，得到h=eq\f(p,g),代入已知条件关于g的函数，并根据二次函数性质得gh的取值范围。

10g+22h=117,

10g+22*eq\f(p,g)=117,

10g2-117g+22p=0,对g的二次方程有：

判别式△=1172-4*10*22p≥0,即：

p≤eq\f(1172,4*10*22)=eq\f(13689,880),

此时gh=p的最大值=eq\f(13689,880)。

思路三：三角换元法

将gh表示成三角函数，进而得gh的最大值,对于本题设:

10g=117cos2t，

22h=117sin2t，则：

g=eq\f(117,10)cos2t,h=eq\f(10,22)sin2t,代入得：

gh=eq\f(117,10)cos2t*eq\f(10,22)sin2t,

=eq\f(1,4)*eq\f(117,10)*eq\f(10,22)*(4cos2t*sin2t),

=eq\f(1172,4*10*22)*sin22t,

当sin2t=±1时，gh有最大值=eq\f(13689,880)。

思路四：中值代换法

设10g=eq\f(117,2)+t?,22h=eq\f(117,2)-t?，则：

g=eq\f(1,10)(eq\f(117,2)+t?),h=eq\f(1,22)(eq\f(117,2)-t?),此时：

gh=eq\f(1,10)(eq\f(117,2)+t?)*eq\f(1,22)(eq\f(117,2)-t?)

=eq\f(1,10*22)(eq\f(1172,4)-t?2)。

当t?=0时，即：

gh≤eq\f(1172,4*10*22)=eq\f(13689,880),

则:gh的最大值为eq\f(13689,880)。

思路五：不等式法

当g，h均为正数时，则：

∵10g+22h≥2eq\r(10*22*gh),

∴(10g+22h)2≥4*10*22gh,

1172≥4*10*22gh,即：

gh≤eq\f(1172,4*10*22)=eq\f(13689,880),

则gh的最大值为:ghmax=eq\f(13689,880)。

思路六：数形几何法

如图，设直线10g+22b=117上的任意一点P(g?,h?),op与x轴的夹角为θ，则：

y

p(g?,h?)

o x

10g?+22h?=117,

h?=g?tanθ,

10g?+22g?tanθ=117，即：

g?=eq\f(117,10+22tanθ),

|g?*h?|=1172*eq\f(|tanθ|,(10+22tanθ)2),

=eq\f(1172,\f(100,|tanθ|)+2*10*22+484|tanθ|),

≤eq\f(1172,2*10*22+2*10*22)=eq\f(13689,880)，则：

gh的最大值=eq\f(13689,880).

思路七:构造函数法

设函数：f(g,h)=gh-λ*(10g+22h-117),则偏导数：

fg=h-10λ,fh=g-22λ,

fλ=10g+22h-117。

令fg=fh=fλ=0，则：

h=10λ,g=22λ。进一步代入得：

10λ+10λ=117,即λ=eq\f(117,20).

则：g=22*eq\f(117,20),b=10*eq\f(117,20).

ghmax=22*10*(eq\f(117,20))2=eq\f(13689,880)。