7种方法计算在100a+43b=61时ab最大值的方法.pdf

已知100a+43b=61,求ab最大值的方法

主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、

不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在100a+43b=61条件

下的最大值。

主要公式：

1.sin²a+cos²a=1；

(a+b)²

2.ab≤；

2

3.二次方程根的判定定理；

4.一次函数的导数公式d（ax）=adx。

思路一：直接代入法

61-100a

根据已知条件，替换b=，得到关于a的函数，再配方并

43

根据二次函数性质得ab的取值范围。

61-100a

ab=a

43

1

=-(100a²-61a)

43

10061

=-(a²-a)

43200

100613721

=-(a-)²+,

4320017200

613721

则当a=时，ab有最大值为。

20017200

思路二：判别式法

p

设ab=p，得到b=,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性

a

质得ab的取值范围。

100a+43b=61,

p

100a+43*=61,

a

100a²-61a+43p=0,对a的二次方程有：

判别式△=61²-4*100*43p≥0,即：

61²3721

p≤=,

4*100*4317200

3721

此时ab=p的最大值=。

17200

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值,对于本题设:

100a=61cos²t，

43b=61sin²t，则：

61100

a=cos²t,b=sin²t,代入得：

10043

61100

ab=cos²t*sin²t,

10043

161100

=***(4cos²t*sin²t),

410043

61²

=*sin²2t,

4*100*43

3721

当sin2t=±1时，ab有最大值=。

17200

思路四：中值代换法

6161

设100a=+t₁,43b=-t₁，则：

2