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华中科技大学2002年硕士研究生数学分析考试试题 求。 解：原式 设函数满足方程组，期中 均为连续可微函数，，求。 解：因为，解得 ； 同理有，得 。 设函数在的可微，，当时，，，证明存在使得。 证明：令，则，在上满足罗尔定理，所以存在使得，即有，即。 证明不等式≤，（ ）。 证明： 当或或时，不等式显然成立，下面利用多元函数极值方法证明，先求函数当时 ， 在球面上的最大值，作拉格朗日函数 ， 求偏导数，得 解得，代入约束条件，可得 ，，， 由于目标函数无最小值，所以唯一的驻点必是最大值点，于是有 ， 即 ，， 在后一式中令，和，得到 。 五、设函数在的连续可微，且最少有一个零点，证明 。 证明：设，对任意的有 ， 上式积分得 。 六、， 其中为单位圆周，逆时针方向。 解： 令，得 。 七、设区域由分片光滑封闭曲面所围成。证明： , 其中为曲面Σ的单位外法向量,，。 证明：由，可知 。 因为 由Gauss公式，得到 。 八、证明:对充分大的自然数有近似公式，当时，其误差与是等价无穷小。 证明：:对充分大的自然数，，即有近似公式。 且， 因此，即与是等价无穷小。 九、展开为上的正弦级数。 十、设是区间上连续函数序列，它在上一致收敛于，假设每个在上不处处为负，证明在上也不处处为负。 证明：由题设易知在区间上连续，下面用反证法证明，假设在上处处为负，即，，又在上一致收敛于，所以存在，当时，对任意，有，即有，即有，即当时，在上处处为负，矛盾。 华中科技大学2003年硕士研究生数学分析考试试题 一、求。 ， 则 ，， 故极限不存在。 二、设是两次连续可微函数，用极坐标代换变换式子。 解：，， ， 。 三、设，在上连续，，在可导且，证明存在使得。 证明：由柯西中值定理存在使得 ， 即。 四、设，证明不等式：，。 证明：，，， 解得，这时，又且当充分小时为无穷大，所以没有最大值，是的最小值，即。 设在上两次连续可微，，证明 。 证明： ， ， 又,所以 ， 即。 设是椭圆，，，是的单位切向量，指向反时针方向，求。 解：设是的单位外法向量，则 ，又令，，所以则 ， 设是椭球面，，是原点到切平面的距离，求。 解：上点的切平面：，即，则， 将函数展成为的幂级数，并指出其收敛域。 解：当，即时，有定义，且 ， 易知级数的收敛域为。 在上展开为的富立叶级数。 证明公式 ，其中是与无关的常数，。 证明：设，则 ， 即单升，又 有上界，故由单调有界原理知存在，记我为，则，令，即有，且。 华中科技大学2004年硕士研究生数学分析考试试题 设求级数之和。 解：，则。 设，，证明，此估计能否改进？ 证明：由泰勒公式存在使得 ，， 两式相减得 ， 所以有 ； 不能改进，例，，，满足，，的条件，但对任意，有。 设有处处连续的二阶偏导数，，证明 。 证明：因为 ， ， 则由分部积分有 。 四、设在上连续，在可微，存在唯一的，使得，，设，，，， ，证明是在上的最大值。 证明：由，存在，当时，，又在有界闭区间上连续，所以在上一定取到最大值，而在区间边界；；和上都有不能取到最大值，最大值只能在的内部取到，这时最大值点一定是极值点，即该点的偏导数必为零，而的内部只存在唯一的使的点，知是在的最大值点，又当时，，记得是在上的最大值。 设处处有，证明曲线位于其任意切线上方，且与切线有唯一的交点。 证明：对任意，由泰勒公式存在使得 ， 即曲线位于其任意切线上方； 下面用反证法证明曲线与切线有唯一的交点，在曲线点的切线为，假若还有曲线点在切线上，则 ，即有，由微分中值定理存在，使得，再由罗尔定理存在使得，与题设矛盾。 六、求， 其中为单位圆周，逆时针方向。 解： 令，得 。 七、设是连续正函数，，证明是严格单调减函数。 证明：，，因此是严格单调减函数。 八、设收敛，证明。 证明：因为收敛，的收敛半径大于等于1，则的收敛半径大于等于1，所以级数在收敛，故级数在上一致收敛，故。 九、设在上连续，其零点：为证明：积分收敛级数收敛。 证明：若收敛，由柯西准则，对任意的，存在，当时，有，又存在，当，，则对任意的正整数，，即收敛。 先不妨设，，则，，，，，；若级数收敛，对任意的，存在，当，有，即，当时，由有，，，且不妨设当时，，当时，，则 ， 即，积分收敛。 十、设，在上连续，，在上一致收敛于，证明至少存在一点，使得。 证明：在上连续，且，则，下面用反证法证明，假设在上都有，则有，矛盾。 2005年试题 设，，，求极限。 解：由微分中值定理，，使 ， 而，得，