区间(n√n,n]至少有两个素数.doc
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区间(n-2,n]至少有两个素数(n≥4)
李联忠
(营山中学 四川营山 637700)
摘 要:2(表第i个素数)个连续正整数中,去掉模每个不大于的素数的任一个同余类后,余下数的个数不小于2. 从而证明区间(n-2,n]至少有两个素数(n≥4)。
关键词:数论;素数个数 小区间
中国分类号:015 文献标识码: 文章编号:
引理: 2(表第i个素数)个连续正整数中,去掉模每个不大于的素数的任一个同余类后,余下数的个数不小于2.
证明:设为不小于的任一素数,即1≤j≤i ,用数学归纳法证明-(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) 这2个整数中去模的非0的任一个同余类后,余下数的个数不小于去模余0的数后,余下数的个数.
I 当i=1即==2时, -1 0 1 2这2=4个整数中去模2余1的同余类后,余下数的个数不小于去模2余0后,余下数的个数.
II假设i=k时结论成立,即 -(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) 这2个整数中去模的非0的任一个同余类后,余下数的个数不小于去模余0的数后,余下数的个数.
当i=k+1时,
-(-1) … - -(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) (+1) … 这2个整数中,因为先去模2和去模这两个素数的任一个同余类后,余下数个数都相等,所以先去模2余0的数,再去模 余0的数,根据归纳假设-(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) 这2个整数中去模的非0的任一个同余类后,余下数的个数不小于去模余0的数后,余下数的个数. 而增加的-(-1) … -,(+1) … 这(2-2)个整数中去掉模每个不大于的素数余非0的任一个同余类后,余下数的个数不小于去掉模每个不大于的素数余0的数后,余下数的个数(个数为0).所以 -(-1) … - -(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) (+1) … 这2个整数中去掉模每个不大于的素数余非0的任一个同余类后,余下数的个数不小于去掉模不大于的素数余0的数后,余下数的个数.
根据数学归纳法,由I, II可得当i为任意正整数时,-(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) 这2个整数中去掉模每个不大于的素数余非0的任一个同余类后,余下数的个数不小于去掉模每个不大于的素数余0 的数后,余下数的个数。
由于-(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) 这2个整数中去模余0 的数后,余下数的个数为2. 所以-(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) 这2个整数中去掉模每个不大于的素数的任一个同余类后,余下数的个数不小于2 .
又因为任意2个连续正整数,可以是-(-1) -(-2) … -1 0 1 2 … (-1) 这2连续整数加一个正整常数平移得到,所以2(表第i个素数)个连续正整数中,去掉模每个不大于的素数的任一个同余类后,余下数的个数不小于2. 引理得证。
定理:区间(n-2,n]至少有两个素数(n≥4)
证明:设,取不大于n的2个连续正整数,去掉不大于的素数的倍数(即模余0的数)后,余下数为素数,根据引理,这2个连续正整数中,素数个数不小于2 ,即
区间(n-2,n]至少有两个素数(n≥4)
∵
∴ ≤
所以,区间(n-2,n]至少有两个素数(n≥4)。
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