大连理工大学研究生入学考试数分试卷及解答.doc
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大连理工大学2005攻读硕士研究生考试试题
数学分析试题解答
计算题
求极限：
解：
2、求极限：
解：
3、证明区间（0，1）和（0，+）具有相同的势。
证明：构造一一对应y=arctanx。
4、计算积分，其中D是x=0,y=1,y=x围成的区域
解：
5、计算第二类曲线积分：，方向为逆时针。
解：
6、设a0,b0,证明：。
证明：
设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0。
证明：
反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA0。
设函数f(x)在开区间（0，+）内连续且有界，是讨论f(x)在（0，+）内的一致连续性。
讨论：非一致连续，构造函数：
设，讨论函数的连续性和可微性。
解：
1）连续性：连续
2）可微性：可微
设f(x)在（a,b）内二次可微，求证：
证明：
f(x)在R上二次可导，
，证明：f(x)在R上恰有两个零点。
证明：
设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割
证明：
求级数：
解：
讨论函数项级数在(0,1)和(1,+∞)的一致收敛性
讨论：
0x1
x1
计算为圆锥曲面被平面z=0,z=2所截部分的外侧。
解：
十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)=0,f(1)=1,证明：
证明：
十二、设f(x)在[0,+∞]上连续，绝对收敛，证明：
证明：
十三、设，证明：
当下极限时，级数收敛
当上极限时，级数发散
证明：（1）
（2）
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