南昌大学 2014～2015学年第一学期期末考试试卷.doc

南昌大学 2014～2015学年第一学期期末考试试卷 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 。 2. 若 在上连续， 则 。 3. 设 其中可导，且， 则 。 4. 当 时，函数 取得极小值。 5. 设为连续函数，且， 则 。 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 若，则的值等于（ ）。 （A） 2； （B））） 其中在处可导，，，则是的（ ）。 （A）连续点；； （B）））在横坐标为1的点处的法线方程是（ ）。 （A））））在区间内可导，和是区间内任意两点，且，则至少存在一点，使（ ）。 （A） 其中； （B） 其中； （C） 其中 ； （D） 其中 5. （ ）。 （A））(C) ; (D) 三、求下列极限（每小题 8分，共16分） 1. 。 2. 。 四、计算题（每小题 8分，共 16分） 1. 已知函数由方程 确定， 求。 2. 求不定积分 。 五、求下列积分（每小题 8分，共 16分） 1. 。 2. 设， 求。 六、解答题（每小题 8分，共 16分） 1. 求函数图形的拐点及凹或凸的区间。 2. 设 其中是有界函数， 试讨论函数在 处的连续性和可导性。 七、证明题（6分） 已知函数在上连续，在内可导， 且， 证明：（1）存在，使得； （2）存在两个不同的点， 使得。 南昌大学 2014～2015学年第一学期期末考试试卷及答案 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 2. 若 在上连续， 则 3. 设 其中可导，且， 则 4. 当时，函数 取得极小值。 5. 设为连续函数，且， 则 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 若，则的值等于（ B ）。 （A） 2； （B））） 其中在处可导，，，则是的（ B ）。 （A）连续点；； （B）））在横坐标为1的点处的法线方程是（A ） （A））））在区间内可导，和是区间内任意两点，且，则至少存在一点，使（ C ）。 （A） 其中； （B） 其中； （C） 其中 ； （D） 其中 5. （ D ）。 （A））(C) ; (D) 三、求下列极限（每小题 8分，共16分） 1. 。 解: 2. 。 解: 解法一：由洛必达法则 原式 解法二： 原式 四、计算题（每小题 8分，共 16分） 1. 已知函数由方程 确定， 求。 解: 解：方程两边对求两次导数， 得 ① ② 以代入原方程得， 把代入①，得， 再把代入②，得 2. 求不定积分 。 解: 解：原式 五、求下列积分（每小题 8分，共 16分） 1. 。 解: 移项整理得： 2. 设， 求。 解: 令 ， 则 六、解答题（每小题 8分，共 16分） 1. 求函数图形的拐点及凹或凸的区间。 解: 令，得或 当 时，，即曲线在内是凹的 当或时，，即曲线在和 内是凸的 因此，有两个拐点. 2. 设 其中是有界函数， 试讨论函数在 处的连续性和可导性。 解: ， ， 所以在处连续 ， 因此，在处可导。 七、证明题（6分） 已知函数在上连续，在内可导， 且， 证明：（1）存在，使得； （2）存在两个不同的点， 使得。 证明：（1）令 ， 由于在上连续， 且，即， 由连续函数的零点存在性定理知， 使得 即 。 （2）利用题（1）的结果，在上应用拉格朗日中值定理知，，使得 即 ① 又在上应用拉格朗日中值定理知，，使得 即 ② ①式与②式相乘，得 . 证毕 8