初高中数学衔接知识点专题（一）..doc

初高中数学衔接知识点专题 ★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】1．绝对值 [1]绝对值的代数意义： ．即 ． [2]绝对值的几何意义： 的距离． [3]两个数的差的绝对值的几何意义：表示 的距离． [4]两个绝对值不等式:；． 2．乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： [1]平方差公式： ； [2]完全平方和公式： ； [3]完全平方差公式： ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： [公式1] [公式2](立方和公式) [公式3] (立方差公式) 说明:上述公式均称为“乘法公式”． 3．根式 [1]式子叫做二次根式，其性质如下： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ． [2]平方根与算术平方根的概念： 叫做的平方根，记作，其中叫做的算术平方根． [3]立方根的概念： 叫做的立方根，记为 4．分式[1]分式的意义 形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质： （1） ； （2） ． [2]繁分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，如， 说明：繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． [3]分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 【例题选讲】 例1 解下列不等式：（1） （2）＞4． 例2 计算： （1） （2） （3） （4） 例3 已知，求的值． 例4 已知，求的值． 例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)： （1） （2） （3） （4） 例6 设，求的值． 例7 化简：（1） （2） （1）解法一：原式= 解法二：原式= （2）解：原式= 说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式． 【巩固练习】 解不等式 设，求代数式的值． 当，求的值． 设，求的值． 计算 6．化简或计算： (1) (2) (3) (4) ● 各专题参考答案 ● 专题一数与式的运算参考答案例1 （1）解法1：由，得； ①若，不等式可变为，即； ②若，不等式可变为，即，解得：．综上所述，原不等式的解为． 解法2： 表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧．所以原不等式的解为． 解法3：，所以原不等式的解为． （2）解法一：由，得；由，得； ①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x； ③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4． 解法二：如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2， 可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． 所以原不等式的解为x＜0，或x＞4． 例2（