数学分析课件含参量积分.doc

第十九章 含参量积分 目的与要求：1. 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2. 掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法．3. 了解函数与函数的定义与有关性质 重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性, 含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明 第一节 含参量正常积分 一 含参量正常积分的概念 1 定义 设二元函数在矩形区域上有定义，且对内每一点，函数关于在闭区间上可积，则定义了的函数 =， （1） 设二元函数在区域 上有定 义，函数为上的连续函数，且 对内每一点，函数关于在闭区 间上可积，则定义了的函数 =，（2） 称（1）和（2）为含参量的正常积分．类似可定义含参量的正常积分． 二 含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1 连续性 定理19．1(连续性) 若二元函数在矩形区域上连续，则函数=在上连续． 证 设，对充分小的，有（若为区间端点则考虑或），于是 = （3） 由于在有界闭区域上连续，从而一致连续，即对任给的正数，总存在某个正数，对内任意两点与，只要 , 就有 （4） 所以由（3）（4）可得：当， = 这就证得在上连续． （同理，若二元函数在矩形区域上连续，则函数=在上连续．） 定理19．1的结论可写成：若二元函数在矩形区域上连续，则 都有 （极限运算与积分运算交换顺序）. 定理19．2(连续性) 设二元函数在区域 上连续，其中函数为上的连续函数，则函数 =， （6） 在上的连续． 证明： 对积分（6）作换元，令，则 == 由于在矩形上连续，由定理19．1即得在上的连续. 2 可微性 定理19．3(可微性) 若函数与其偏导数都在矩形区域上连续，则=在上可微，且 = 证明：设，对充分小的，有（若为区间端点则考虑单侧导数），于是 . 由于拉格朗日中值定理及在矩形区域上连续（从而一致连续），即对任给的正数，总存在某个正数，只要，就有 = 因此 这就证得对一切，有 =． 定理19．4(可微性) 若函数与其偏导数都在区域上连续，为定义在上其值含于的可微函数，则=， 在上可微，且 =+ （7） 证 把看作复合函数： ＝=,其中 由复合函数求导法则及变上限积分的求导法则，有 = =+ 3 可积性 定理19．5(可积性) 若二元函数在矩形区域上连续，则函数=和=分别在和上可积． 证 由,的连续性即知. 定理19．6(可积性) 若二元函数在矩形上连续，则 = 证 记， 其中，现分别求与的导数. 对于，令=，则有 因为与=都在上连续，由定理19．3 = 故得，，又= 故得=，，取即得 =． 三 应用的例 例1 求 解 记，由于连续，所以 ＝ 例2 计算积分 解 考虑，由定理19．3 = = = 所以 = = 另一方面 所以 例3 设在的某个邻域内连续，验证当充分小时，函数 =的各阶导数存在，且=. 解 =及其偏导数在原点的某方邻域内连续， = = 同理 = 特别当时有 =， 故 =. 例4 求 解 因为 =， 所以 ==== 注：从例子中可体会到含参量的正常积分的分析性质对一些困难的积分的求出提供了方便. 作业 p178 1，2，3，4，5，6. 第二节 含参量反常积分 一 一致收敛性概念及其判别法 1 含参量的无穷限反常积分定义 设函数定义在无界区域上，若对内每一个固定的，反常积分都收敛，则它的值定义了上一个的函数，记为=， （1） 称（1）式为定义在上的含参量的无穷限反常积分. 2 一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数对任给的正数，总存在某个实数，使得当时，对一切，都有 即 则称含参量的反常积分（1）在上一致收敛于 3 一致收敛的柯西准则 定理19．7含参量的反常积分（1）在上一致收敛的充要条件是：对任给的正数，总存在某个实数，使得当时，对一切，都有 例1 证明参量的反常积分 在上一致收敛（其中），但在上不一致收敛． 证 令 = 其中，由于收敛，故对任给的，总存在正数，使当时就有 取，则当时，对一切，由=有 所以在上一致收敛． 再证在上不一致收敛． 按一致收敛的定义,只要证明：存在某一正数，使对任何实数，总相应地存在某个及某个，使得 因收敛，故对任何正数与，总相应地存在某个，使得 即有 令,则可得 所