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模糊逻辑的程度化紧致性 杨国微 （天津城市建设管理职业技术学院 天津 邮编 300134） 摘要 本文以模糊逻辑为元逻辑，定义了新的可满足初始赋值集合，讨论了程度化模糊语义、程度化自然语义及程度化模糊结论算子的紧致性。 关键词 模糊逻辑 紧致性 程度化模糊语义 程度化紧致性 在完备格的框架下讨论模糊语义的紧致性及其导出的模糊结论算子的紧致性之间的关系是模糊逻辑研究中的重要问题。[5]证明了在是党的条件下两种之间的等价性，在[1]中证明了模糊逻辑与二值逻辑类之间的等价关系。[4]中提出了以模糊逻辑代替二值逻辑作为模糊逻辑研究的元逻辑，并分析和研究了Pavelka逻辑[3]的程度化紧致性。本文首先给出了程度化模糊语义的二值表现形式以及程度化模糊语义的各种紧致性与二值模糊语义的紧致性之间的关系，最好从程度化模糊语义导出合适的程度化模糊语义结论算子。 定义1 设F是抽象公式集合， 是剩余格，如果映射是闭包算子，即满足： （1）， （2）如果 ，则， （3） ， 则称为F上的模糊结论算子。 ，定义为：，否则。，定义为：。称为有限的，如果是有限的。 定义2 （1）F上的模糊语义结论算子称为紧致的，若，存在有限的，使得。 （2）F上的模糊语义结论算子称为是程度化紧致的，若 有限的。 命题1 紧致的模糊结论算子是程度化紧致的。 定义3 （1），若，则称为F上的程度化模糊语义。 （2）设，则是的模型的程度为 （3）-可满足初始赋值之模糊集为 （4）程度化模糊语义称为紧致的，如果，，存在有限的使得 。 （5）程度化模糊语义称为程度化紧致的，如果，有 有限。 （6）程度化模糊语义称为程度化逻辑紧致的，如果对任意定向集族，有 命题2 关于是闭包算子。 定义4 设，如果，均有 则称关于可满足性封闭。 命题3 设关于可满足性封闭，对任意交封闭。 定理1 对任意，关于可满足性封闭。 证明 令关于可满足性封闭，，首先证，设，关于可满足性封闭，则有 当且仅当 由条件知 因为是任意的，所以 由的任意性，有。 其次证明，由关于是闭包算子知，又 因此有，综上有。 定义5 设，，定义。 命题4 ，， F上的一个-推理规则指的是一个序对，其中是F上的n元偏函数，是上的按每个变元保任意并的n元运算。若且对任意， 则称对于规则封闭，设是F上的一集-推理规则，如果对任意，都关于封闭，则称对于封闭。F上的语法指的是一个序对，其中称为公理集，是-推理规则集。 命题5 设是F上的-语法，定义如下： 关于闭。 则是F上的闭包算子，称为由导出的模糊结论算子。 导出的模糊结论算子可以用程度化证明来刻画： 定理3[3] 设是F上的-语法， 关于程度化证明的详细论述可参看[6]。 定义6 若有抽象公式，是抽象语义，对任意，有，则称是C-正则的；若是F上的-语法，设，则称是C-正则的，称为抽象矛盾公式。 设， ，令 定理4[4] 若是和谐的且对任意 则是上的模糊推论算子。 定义7[4] (1) 的不动点称为F中的理论，若它不等于F，则称为一致的；（2）F上的所有一致的理论之集称为在F中的自然语义。 定义8[4] 设是模糊语法，则它在F上的程度化自然语义定义如下：对任意，当时，，否则。 命题6 如果满足定理4的条件，并对任意的及，， （1） 定义为，则关于可满足性封闭且。 定理5[4] 如果满足定理4的条件以及（1），则是程度化紧致的。 下面定义新的可满足性模糊集，并讨论其紧致性。 定义9 设，对任意，令 命题7 如果剩余蕴涵对保任意并，则是闭包算子。 定义10 设，是模糊语法，则它在F上的程度化自然语义给出如下：对任意，当时，，否则。 定理6 如果C-正则的和谐模糊语法满足定理4中的条件，以及（1）和对任意， （2） 则是程度化逻辑紧致的。 证明 设是任一定向集族，只需证明 （I）= （II）注意到的C-正则性及（2），施归纳法于程度化证明的长度可知，对任意,,. = 如果,则， 如果，则,，所以 综上所述，有 注 当是连续的时候，[2]中引入的推理规则之典型扩张是满足定理要求的条件的。 定义11 设是模糊语义，令为 称为由导出的程度化模糊结论算子。 命题8 是闭包算子。 命题9 如果是紧的，则是程度化紧致的当且仅当是紧致的。 定理7 设是MV-代数，对于程度化模