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传染病模型(微分方程).doc

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传染病模型(微分方程) 传染病模型(微分方程) PAGE / NUMPAGES 传染病模型(微分方程) . 微分方程建模(传染病模型)的求解。 1、模型 1: SI 模型。 假设: (1) t 时刻人群分为易感者(占总人数比例的 s(t) )和已感染者(占总人数比例的 y(t ) ) (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日接触率,当健康者与病人接触 时,健康者受感染成为病人。 分析:根据假设,每个患者每天可以使 s(t) 个健康者变为病人,因为病人数为 Ny (t ) ,所 以每天共有 Ns(t ) y(t) 个健康者变为病人。即: N dy Nsy ,且 s(t ) y(t ) 1,设初始时刻病人比例为 b ,则: dt dy y(1 y) ,用 MATLAB解此微分方程: dt y(0) b syms a b f=dsolve(Dy=a*y*(1-y),y(0)=b,t) f = 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) %y(t) 1 1 b 1 e t 1 ( 1 1)e t 1 b b 当 b 0.09, 0.1 时 , 分 别 在 坐 标 系 oty 中 作 出 y(t) 的 图 像 , 坐 标 系 oyy 中 作 出 y y(1 y) 的图像, 1/(1+91/9 exp(-1/10 t)) a=0.1; 1 0.9 b=0.09; 0.8 0.7 h=dsolve(Dy=a*y*(1-y),y(0)=b,t) 0.6 h = 0.5 0.4 1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b) 0.3 0.2 f=subs(h) 0.1 f = 0 t 0 10 20 40 50 60 30 1/(1+91/9*exp(-1/10*t)) y(t) 的图像 ezplot(f,[0,60]) 0.025 grid on 0.02 figure (2) fplot(0.1*y*(1-y),[0,1]) 0.015 0.01 0.005 精品 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 . grid on 模型分析:( 1)当 ( 2)当  y y(1 y) 的图像 1 时, dy 达到最大值,则此时病人增速最快。 2 dt 时, y(t) 1,即所有的人被传染,全部变为病人,这显然是不 符合实际的, 其原因是没有考虑到病人可以治愈, 人群中的健康者只能变为病人, 而病人不 会变为健康者。 2、模型 2: SIS 模型。 假设: (1) t 时刻人群分为易感者(占总人数比例的 s(t) )和已感染者(占总人数比例的 y(t ) ) (2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日接触率,当健康者与病人接触 时,健康者受感染成为病人。 ( 3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ,称为日治愈率,显然 1 为这种传染病的 平均传染期。则 N dy Nsy Ny 。则建立微分方程模型为: dy dt dt y(1 y) y y(0) b 用 MATLAB解此微分方程: h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-c*y,y(0)=b,t) h2 = (a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c ) pretty(h2) exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) a (a - c)/|a - \b (a - c) exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) c+ | b (a - c) / 精品 . 化简: a c e (a c )t .( a c ba )a e ( a c)t .( a c ba)c a b(a c) b(a c) b( a c)2 ab(a c) e (a c)t .( a c ba) e (a c )t .( a c ba)c b(a c) 2 ab(a c) (c a) e ( a c)t .( a c ba ) ab(a c) (c a) e (a c) t .( a c ba) 1 b(a c)2 1 ( 1 a )e (a c)t a c b a c (1 1 即: y(t) ) e ()t 。 b ( 1 1 当( 1) 时, y(t ) )e ()t ; b (2) 时, clear h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-a*y,y(0)=b,t) h2 = 1/(a*t+1/b) 1 即: y(t ) t b  1 。 定义 :一个传染期内每个病人有效接触的平均人数。 1 则: y( ) 1 ,(
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