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传染病模型(微分方程)
传染病模型(微分方程)
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传染病模型(微分方程)
.
微分方程建模(传染病模型)的求解。
1、模型 1: SI 模型。
假设:
(1) t 时刻人群分为易感者(占总人数比例的
s(t) )和已感染者(占总人数比例的
y(t ) )
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数
, 称为日接触率,当健康者与病人接触
时,健康者受感染成为病人。
分析:根据假设,每个患者每天可以使
s(t) 个健康者变为病人,因为病人数为
Ny (t ) ,所
以每天共有
Ns(t ) y(t) 个健康者变为病人。即:
N dy
Nsy ,且 s(t ) y(t ) 1,设初始时刻病人比例为
b ,则:
dt
dy
y(1 y) ,用 MATLAB解此微分方程:
dt
y(0)
b
syms a b
f=dsolve(Dy=a*y*(1-y),y(0)=b,t)
f =
1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)
%y(t)
1
1
b 1 e t
1 ( 1 1)e t
1
b
b
当 b
0.09,
0.1 时 , 分 别 在 坐 标 系 oty 中 作 出
y(t) 的 图 像 , 坐 标 系 oyy
中 作 出
y
y(1
y) 的图像,
1/(1+91/9 exp(-1/10 t))
a=0.1;
1
0.9
b=0.09;
0.8
0.7
h=dsolve(Dy=a*y*(1-y),y(0)=b,t)
0.6
h =
0.5
0.4
1/(1-exp(-a*t)*(-1+b)/b)
0.3
0.2
f=subs(h)
0.1
f =
0
t
0
10
20
40
50
60
30
1/(1+91/9*exp(-1/10*t))
y(t) 的图像
ezplot(f,[0,60])
0.025
grid on
0.02
figure (2)
fplot(0.1*y*(1-y),[0,1])
0.015
0.01
0.005
精品
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
.
grid on
模型分析:( 1)当
( 2)当
y y(1 y) 的图像
1 时, dy 达到最大值,则此时病人增速最快。
2 dt
时, y(t) 1,即所有的人被传染,全部变为病人,这显然是不
符合实际的, 其原因是没有考虑到病人可以治愈, 人群中的健康者只能变为病人, 而病人不
会变为健康者。
2、模型 2: SIS 模型。
假设:
(1) t 时刻人群分为易感者(占总人数比例的 s(t) )和已感染者(占总人数比例的 y(t ) )
(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数 , 称为日接触率,当健康者与病人接触
时,健康者受感染成为病人。
( 3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为 ,称为日治愈率,显然 1 为这种传染病的
平均传染期。则 N dy Nsy Ny 。则建立微分方程模型为:
dy
dt
dt
y(1 y) y
y(0) b
用 MATLAB解此微分方程:
h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-c*y,y(0)=b,t)
h2 = (a-c)/(a-exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*a+exp(-(a-c)*t)*(-a+c+b*a)/b/(a-c)*c
)
pretty(h2)
exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) a (a - c)/|a -
\b (a - c)
exp(-(a - c) t) (-a + c + b a) c+ |
b (a - c) /
精品
.
化简:
a
c
e
(a c )t .(
a
c
ba )a
e ( a
c)t .(
a
c
ba)c
a
b(a
c)
b(a
c)
b( a
c)2
ab(a
c)
e (a c)t .(
a
c
ba)
e (a c )t .(
a
c
ba)c
b(a
c) 2
ab(a
c)
(c
a)
e ( a
c)t .(
a
c
ba )
ab(a
c)
(c
a)
e (a
c) t .( a
c
ba)
1
b(a
c)2
1
( 1 a )e (a c)t a c b a c
(1
1
即: y(t)
) e ()t
。
b
( 1
1
当( 1)
时, y(t )
)e ()t
;
b
(2) 时,
clear
h2=dsolve(Dy=a*y*(1-y)-a*y,y(0)=b,t)
h2 = 1/(a*t+1/b)
1
即: y(t ) t
b
1
。
定义 :一个传染期内每个病人有效接触的平均人数。
1
则: y( )
1
,(
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