§ 椭球面.doc

§4.4? 椭球面 ? 一、概念： 在空间直角坐标系下，由方程 ++＝1 所表示的曲面叫做椭球面，或称椭圆面，通常假定a≥b≥c0. 该方程叫做椭球面的标准方程. 二、图形(如图4-4)： 1.???? 讨论方法： 一般地，运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为： (1) 曲面的对称性：讨论图形各部分之间的关系； (2) 曲面的范围：讨论图形存在的范围； (3) 曲面和坐标轴、坐标平面的关系：以便对图形的大概轮廓有所了解； (4) 确切研究曲面的弯曲变化情况：主要方法是平行截割法. 它是用一族平行平面来截割曲面，研究截口曲线是怎样变化的，也叫平行截面法，或平行截口线法. ?2．讨论过程： (1) 曲面的对称性：椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称. 椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心. (2) 曲面与坐标轴的交点：椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点, 因此椭球面的顶点为 (?a, 0, 0), (0, ?b, 0), (0, 0, ?c). 同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a, 2b, 2c叫做椭球面的轴，它的一半叫做半轴. 当abc0时，2a, 2b, 2c分别叫做椭球面长轴、中轴、短轴，而a, b, c分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半轴. (3) 曲面的存在范围：椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：x＝?a,? y＝?b,? z＝?c所围成. (4) 被坐标面所截得的曲线： ①? ②? ③ 分别为xOy, xOz, yOz坐标面上的椭圆，它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆). (5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线：考虑截线 ? 或? ??????????④ 椭球面可以看成由此椭圆族④所生成，这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行，而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③上. 用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面，结论类似. 3. 椭球面的参数方程为 ???? (0≤?≤?, 0≤?2?) 从中消去 ?, ? 可得椭球面的标准方程. 例1. 由椭球面 ++=1的中心(即原点)，沿某一定方向到曲面上一点的距离是r，设定方向的方向余弦分别为?, ?, v, 试证 ＝＋＋. 证明：设P(x, y, z)为曲面上任一点，依题意有 ＝r,? 其中＝{?, ?, ?}, 即有???????????? x＝r?,? y＝r?,? z＝rv 代入椭球面方程整理得 ＝＋＋. 例2. 由椭球面＋＋＝1的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面于点P1, P2, P3，设OP1＝r1, OP2＝r2, OP3＝r3,试证 ++＝＋＋. 证明：设的方向余弦分别为?i, ?i, ?i(i＝1, 2, 3)则由上题结果有 ＝＋＋, =＋＋, ＝＋＋, 从而?? ?????????????＋＋＝＋＋. 由于与x轴夹角的方向余弦分别为?1, ?2, ?3, 从而在{O;,,}下, Ox的方向余弦就是?1, ?2, ?3, 于是，同理有，. 所以有 ??? ++＝＋＋. 例3. 一直线分别交坐标面yOz, zOx, xOy于三点A, B, C. 当直线变动时，直线上的三定点A, B, C也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四点P，它与A, B, C三点的距离分别为a, b, c，当直线按照这样的规定（即保持A, B, C分别在三坐标面上）变动，试求P点的轨迹. 解：设直线的方向余弦为cos?, cos?, cos?, P点的坐标为(x0, y0, z0)，则直线的方程为 ＝＝, 即? x＝x0＋tcos?,? y＝y0＋tcos?,? z＝z0＋tcos?. 令x＝0, 得直线与yOz面的交点A的坐标，因此有x0＋tcos?＝0. 根 据t的几何意义 | t |＝a，得 x0?acos?＝0? 或? x0＝?acos?. 同理得????????? y0＝?bcos?,? z0＝?cos?, 从而有??? ++＝cos2?+cos2?+cos2?＝1, 所以P点的轨迹为椭球面 ++＝1. 例4. 已知椭球面 ++＝1 (cab)，试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面. 解法一：设所求平面为z＝ky，要使它与曲面的交线 ?????????????????? ① 为圆，则其圆心为(0, 0, 0)，半径为a，故该圆的方程还可改写成 ????????????????? ② ①,②对于xOy平面的射影柱面分别为 +, +, 它们应为同一曲面，故有 +＝+, 解得? k＝?, 故所求平面为 z＝?, 即?????????????????? c. 解法二：由题设交线圆总可以看成以原点为中心，a为半径的球面与已知椭球面的交线 由于此圆在过x轴的平面上，故此圆对于yOz