《第六章近独立粒子的最概然分布》作业评讲.doc
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《第六章 近独立粒子的最概然分布》作业评讲
习题6.1试证明，在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：
证明：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。
在六维相空间，相体积元内的微观量子态为：
体积内，动量在范围的自由粒子量子态数。
对积分,可得体积内自由粒子动量大小在范围的量子态
由进行变量代换：，
代入上式可得：在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：
其中为在到的能量范围内单位能量间隔的量子态数，称为量子态密度 证毕。
习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，在长度L内，在到的能量范围内，量子态数为：
证明：一维粒子局域于宏观长度L内运动，其能量值和动量值是准连续的。
在二维相空间，相体积元内的微观量子态为：
在长度内，动量在范围的自由粒子量子态数。
对在范围及积分,可得在长度内，自由粒子动量大小在范围的量子态
由进行变量代换：，
代入上式可得：长度内，在到的能量范围内，一维自由粒子的量子态数为：
习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在面积L2内，在到的能量范围内，量子态数为
证明：二维粒子局域于宏观面积L2内运动，其能量值和动量值是准连续的。
在四维相空间，相体积元内的微观量子态为：
面积内，动量在范围的自由粒子量子态数。
对积分,可得在面积L2内，自由粒子动量大小在范围的量子态
由进行变量代换：，
代入上式可得：面积内，在到的能量范围内,二维自由粒子的量子态数为：
习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为。试求在体积V内，在到的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。
解：三维粒子局域于宏观体积下运动，其能量值和动量值是准连续的。
在六维相空间，相体积元内的微观量子态为：
体积内，动量在范围的自由粒子量子态数。
对积分,可得体积内自由粒子动量大小在范围的量子态
由粒子的能量动量关系为进行变量代换：，
代入上式可得：在极端相对论情形下,在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：
于是，
近独立粒子的最概然分布(补充例题)
[例1]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、、、、……，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量相联系的是什么样的分布？并根据公式计算每种分布的微观态数,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。
（2）、在题（1）中，如0和两能级是非简并的，而和两个能级分别是6度和10度简并。试重复上面的计算。
解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：
能 级
能量值
简并度
分布数
分布要满足的条件是：
，
满足上述限制条件的分布可以有：
则各分布所对应的微观态数为：
所以此种情况下体系的总的微观状态数为
各分布的几率为：
（2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：
能 级
能量值
简并度
分布数
分布要满足的条件是：
，
满足上述限制条件的分布可以有：
则各分布所对应的微观态数为：
所以此种情况下体系的总的微观状态数为
各分布的几率为：
[例2]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：
和
其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。
证： 粒子A能级，粒子数分布：——{al}——简并度
粒子B能级，粒子数分布：——{a’l}——简并度
体系两种粒子分布要满足的条件为：
，
分布，对应的微观状态数为
?????????????????????????
分布，对应的微观状态数为
?????????????????????????
上式表明：当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。
在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件， 下使为极大的分布。利用斯特林公式可得：
由，得
而由限制条件可得：
，
引入拉氏不定乘子，得
根据拉格朗日未定乘子法原理，每个及的系数都等于零，所以得：
讨论：
（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的
（2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相
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