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矢量场的数学 §1 矢量场的微分运算 矢量代数和函数微分运算 矢量 有大小和方向，且满足矢量运算的法则。 矢量代数运算的几个结果 ①标量 ② ③ ④ ⑤ ⑥ 多元函数微分运算的两个公式 ， ⑦ 偏导数含义：。 ⑧ ， 二、标量场和矢量场 什么是场 指在空间连续分布的某种客体。 标量场：指每一点由一个标量给定的那种空间分布的客体。 等值面(线) 矢量场：指每一点由一个矢量给定的那种空间分布的客体。 如电场、磁场、电流场、速度矢量场等。 矢量场的场线 标量场和矢量场随时间的变化 （，）或（，） 标量场和矢量场随空间的变化 某点的场与相邻点的场之间的关系 三、标量场对空间的一阶微商——梯度 标量场对空间的微商 ， 标量场T在场点P随空间的变化与方向有关，沿不同方向T对空间距离的微商不相同。 证明T的三个分量微商构成一个矢量 两个无限靠近的场点P1和P2， P1坐标为， P2坐标为， 连接P1P2的矢量为， 标量场T在P1P2两点的函数差，是一个标量。 ，（1.1） 根据两矢量点积为一标量可知构成一个矢量。 梯度的定义 称为T的梯度，记作或。 （1.2） 哈密顿算符 （1.3） 是一个矢量微分算符，是表示场对空间微商的算符。 算符本身也可以看作是一个矢量，在直角坐标系下： ， ， ， （1.4） 标量场T的梯度是一个矢量场，代表T对空间的一阶微商，反映标量场T的空间分布状况。 梯度的大小和方向 ， ， ， （1.5） ， （是与的夹角） 上式的含意是T沿某方向对空间的变化率，就等于T的梯度沿该方向的分量。 对标量场任一点P，都有一个特定的方向（对应），沿着此方向的变化率是最大的，此最大值就是该P点梯度的大小；此特定方向就是梯度矢量的方向。 梯度给出某点的场与其相邻点的场之间的关系 （1.6） 四、矢量场对空间的一阶微商 矢量场对空间的微商 两种基本方式： ， 的散度：是一个标量场。记作。 （1.7） 散度的意义： 一般来说是指矢量场在该点的“发散程度”，也就是从该点发出或会聚的场线条数的多少。散度是一个标量，正值代表从场点发散，负值代表汇聚。 的旋度：是一个矢量场。 记作。 （1.8） 旋度的意义： 一般来说是指矢量场在该点处的“涡旋程度”，就是环绕该点的闭合场线条数密度的大小。 标量场和矢量场对空间求微商小结 哈密顿算符， （矢量） （标量） （矢量） 麦克斯韦方程组： ， ， ， ， 五、对空间的二阶微商 求二阶微商分为五种情况： 1），2），3），4），5）。 1） 拉普拉斯算符：。 2）=0 (重要恒等式) 数学定理1.1 如果一个矢量场，它的旋度恒为零，，则始终存在某一个标量场，或者说就有一个标量场，使得。 3）=0 (重要恒等式) 数学定理1.2 如果一个矢量场，它的散度恒为零，，则始终存在某一个矢量场，或者说就有一个矢量场，使得。 4）=矢量 5）=矢量  §2 矢量场的积分运算 梯度的线积分 线积分的定义：函数G从P1到P2沿着路径L的线积分为， （2.1） 梯度的线积分：任取一条路径L连接P1和P2，将L分割成无穷多线元。对于任一线元， ， 数学定理2.1梯度的线积分等于场在过程起点和终点的数值之差。 （2.2） （等价的表达） 二、矢量场的通量 矢量场通量的定义 矢量的法向分量在曲面上的面积分。 （2.3） 任取一体积V，其表面积为S。 V1的表面积为S1=S1a+S1ab， V2的表面积为S2=S2b+S2ab。 （2.4） 数学定理2.2 通过体积V外表面S的通量，等于S内包含的所有各个部分小体积dV外表面的通量之和。 如V分割成许多小立方体。 三、对小立方体表面的通量 计算对六个正方形面元的通量之和 对1、2面的通量： 同理对3、4和5、6面的通量：，， 对小立方体表面的通量： （2.5） 对小立方体表面的通量等于该点的散度与小立方体体积的乘积。 （2.6） 一般矢量场的高斯定理 对任一闭合曲面S的通量，等于在V内该矢量的散度的体积分。 （2.7） 散度的定义式 （2.8） 散度的含