北京四中2014届中考数学专练总复习分式方程的解法及应用(基础)知识讲解.doc

PAGE  PAGE 4 分式方程的解法及应用（基础） 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】 类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（ ）． A． B． C． D．，（，为非零常数） 【答案】B； 【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义． 【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数． 类型二、解分式方程 2、 解分式方程（1）；（2）． 【答案与解析】 解：（1）， 将方程两边同乘，得 ． 解方程，得． 检验：将代入，得． ∴ 是原方程的解． （2）， 方程两边同乘以，得． 解这个方程，得． 检验：把代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是． 【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根． 举一反三： 【变式】解方程：． 【答案】 解：， 方程两边都乘，得， 解这个方程，得， 检验：当时，， ∴ 是增根， ∴ 原方程无解． 类型三、分式方程的增根 【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3（1）】 3、为何值时，关于的方程会产生增根？ 【思路点拨】若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值． 【答案与解析】 解： 方程两边同乘约去分母， 得．整理得． ∵ 原方程有增根，∴ ，即或． 把代入，解得． 把代入，解得． 所以当或时，方程会产生增根． 【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解． 举一反三： 【变式】如果方程有增根，那么增根是________． 【答案】； 提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得．所以增根是． 类型四、分式方程的应用 4、甲??乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少