分类讨论的思想方法..doc

四、分类讨论的思想方法 [概述]： 分类讨论在数学中既是一个重要的策略思想，又是一个重要的数学方法，很多数学问题涉及知识范围广，约束条件多，很难用统一方法解决，因此就从“分割”入手，将整体化为若干局部，每个局部问题相对确定，解法单一，比较容易解决，每个局部问题解决了，整体问题也就得到解决。即采用化整为零各个击破的方针。1。分类讨论的关键：1）找出分类的根源，明确为什么分类？2）找出分类的对策，明确怎样分类。一般地：1）使用数学性质，定理，公式视其限制条件，成立条件进行分类；如等比数列前项和公式，要依据公比和得到两个不同的表达式；绝对值的性质；2）由概念引起的讨论，如直线与平面所成的角；3）由变形所需条件的限制引起的讨论；如方程的解的情况；4）由图形的不确定性引起的讨论，如到平面的距离分别为，求重心到平面的距离；5）对于含有参数的问题对参数的允许值进行全面的讨论，如直线方程的点斜式和截距式；6）其它：根据实际问题具体分析进行讨论，如排列、组合问题，应用问题。2。分类讨论的解题步骤：1）确定讨论的对象以及全域；2）合理分类统一标准，作到不重，不漏；3）逐类讨论，分级进行；4）归纳总结得出整个题目结论。3。分类讨论的类型：1）问题中的变量或参数不确定性，需要分类讨论；2）问题的条件是分类给出的；3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；4）几何问题中，几何元素的形状、图象位置的变化需要分类讨论的。 简化和避免分类讨论的方法：1）直接回避，如运用反证法、补集法、消参法。2）变更主元。3）合理简化运算。4）数形结合。 [例题分析] 例1：设集合，映射，使对任何，都有是奇数，这样的映射有多少个？ 变式：设函数，满足，则这样的映射个数有： A：1个；B：4个；C：8个；D:10个。 例2：设，若，则的值构成的集合是 。 例3：（对问题中变量或参数进行分类讨论）函数在上最大值与最小值之差为3，则的值是多少？ 变式：解关于的不等式： 变式：已知函数其中为常数，求这个函数的定义域。 例4．（问题的条件是分类给出的，需要分类讨论）已知数列的前项的和求数列的前项的和。 例5．给出定点，和直线是直线上一动点，的角平分线交于点C，求点C的轨迹方程并讨论方程表示的曲线类型与的关系。 例6．设函数。 证明：的导数。 若对所有都有，求的取值范围。 （略） 令，则。 1）若，当时，， 在上为增函数，时，，即 。 2）若，方程的正根为，此时若，则，故在该区间为减函数，因此，即 不符合要求。 综上：满足条件的的取值范围是。 例7：（07山东）设，其中。 当时，判断函数在定义域上的单调性； 求函数的极值点； 证明对任意的正整数，不等式都成立。 [分析]：的定义域为 ，当时，，结论成立。 讨论:当时，无极值点； 当时，=0有两个相等的解，在左右两侧符号相等，无极值。 当时，=0有两个不同解 时，，即，且 随的变化情况如下表： 0 极小值 当时，，随的变化情况如下表： + 0 — 0 + 极大值 极小值 纵上所述： 时，，令，则 例8：已知函数，其中． （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值． （Ⅰ）解：当时，，， 又，． 所以，曲线在点处的切线方程为， 即． （Ⅱ）解：． 由于，以下分两种情况讨论． （1）当时，令，得到，．当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大值 所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数． 函数在处取得极小值，且， 函数在处取得极大值，且． （2）当时，令，得到，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数． 函数在处取得极大值，且． 函数在处取得极小值，且． 例9：设函数（x∈R），其中a∈R， （1）当a=1时，求曲线y= f(x) 在点（2，f (2)）处的切线方程； （2）当a≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值；。 （3）当a3时，证明存在，使得不等式对任意的x∈R恒成立。 （Ⅰ）解：当时，，得，且 ，． 所以，曲线在点处的切线方程是，整理得 ． （Ⅱ）解： ． 令，解得或． 由于，以下分两种情况讨论． （1）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在处取得极小值，且 ； 函数在处取得极大值，且 ． （2）若，当变化时，的正负如下表： 因