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Chapter 2: Basic Concept in Noncooperative Game Theory Game分合作的Game与非合作的Game。本课程所用的Game理论限于非合作的Game。 Game有两种表达方式。一种是标准形式的Game（normal form game），另一种是扩展形式的Game（extensive form game）。 信息问题：信息对于博弈是重要的。有完备信息的博弈（Perfect Information Game）与不完备信息的博弈（Imperfect Information Game）。 2.1 Normal Form Games 2.1.1 Definition of Game(定义) 定义：标准形式的Game描述如下： N个博弈者（player），表示为集合I={1，2，…，N}。 每个博弈者i, 有一行动集（Action set），是博弈者i 的所有行动的可能集合。令表示i所采取的特定的行动。因此博弈者i的行动集，其中，k是i所有可能行动的数目。 令为一组由每一位博弈者i所选择的行动。我们称之为该Game的一个结果（Outcome）。 3、每一位博弈者i有一个支付函数。对于该Game的每一结果，该函数取一实数值*。 简单表示为： ， 标准型game定义可用下面的例子说明。 2 1 P W P W 2， 2 -2，3 3， -2 -1，-1 第一，N=2, 第二，，该game有四个结果（P，P），（P，W），（W，P），（W，W）。 第三，支付矩阵中带数字的四个方格表示四种结果下每个博弈者的支付。若结果为，则 2.1.2 均衡的概念(equilibrium concepts) 有的game存在唯一均衡解。有的game存在多个均衡解。有的game不存在均衡解。 为了简化讨论。我们将博弈的一种结果表示为 其中 1优势行动中的均衡(equilibrium in dominant actions)。 1、优势行动（策略）与优势行动（策略）均衡 （1）优势行动（策略） 优势行动（策略）的定义：如果无论其他所有博弈者采取什么行动（策略），博弈者总是由于采取行动（策略）而获得最大得分，则行动（策略）是博弈者的优势行动（dominant action）(优势策略dominant strategy) 可以将优势行动（策略）进一步划分为严格优势行动（策略）与弱优势行动（策略）。 （2）严格优势行动（策略）与弱优势行动（策略） 严格优势行动（策略）。定义如下：对于所有的（），且（），如果（）成立，那么，博弈者的行动（策略）是严格优势行动（策略）。 上表中，是1的严格优势行动。证明如下。 同样，是2的严格优势行动。 弱优势行动（策略）。定义如下：对于所有的（），如果（），并且至少一个严格的不等式成立，那么，博弈者的行动（策略）弱优于他的其他行动（策略）。（策略）是的弱优势行动（策略）。 例如下表2—3中，是博弈者1的弱优势策略，是博弈者2的弱优势策略。 表2—3 弱优势策略 2 1 2， 2 1，1 1， 1 1，1 （3）严格劣势行动（策略）与弱劣势行动（策略） 对于所有的（），且（），如果（）成立，那么，博弈者的行动（策略）是严格劣势行动（策略）。在表2—2中，peace对于两个国家而言都是严格的劣势行动。如果（），其中至少一个严格的不等式成立，那么，博弈者的行动（策略）是弱劣势行动（策略）。 通过删除劣势策略或者删除弱劣势策略，而保持优势策略或者弱优势策略，可以达到优势策略均衡。 （4）优势行动均衡 定义：An outcome is said to be an equilibrium in dominant action for each player i if is a dominant action for each player i.) 如果是博弈者i的优势行动，则结果是一个优势行动均衡（其中，对于任意的，）。 显然是一个优势行动均衡。 许多game不存在优势策略均衡。例如下列的battle of the sex game 不存在优势行动均衡。 张先生 李小姐 看球赛 看电影 看球赛 看电影 1， 2 0，0 0， 0 3，1 2、纳什均衡（Nash Equilibrium）（NE） 定义：结果（其中，对于每一个，）称为纳什均衡，如果假定在所有其他人不背离其纳什结果的策略条件下，没有任何人可以通过背离纳什结果