福建省莆田第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案).docx
福建省莆田第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．若复数满足，则在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．在平行四边形中,点E满足,则()
A. B.
C. D.
3．的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，，，则()
A. B. C. D.
4．设α，β，γ是三个不同平面，且，，则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为()
A. B. C. D.
6．图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器,现往内灌进一些水,设水深为.将容器底面的一边AB固定于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面形状恰好为,如图2,则()
A.3 B.4 C. D.6
7．已知等腰梯形，，，圆O为梯形的内切圆，并与，分别切于点E，F，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆O分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为()
A. B. C. D.
8．在锐角三角形中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是()
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知，，则()
A.
B.
C.与的夹角为
D.向量在向量方向上的投影向量为
10．设z，，为复数，，下列命题中正确的是()
A.若则 B.若则
C.若则 D.
11．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则()
A.平面
B.直线与平面所成的角为60°
C.若点P为棱上的动点，则的最小值为
D.若点P为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：.据此公式，复数的虚部为______.
13．镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中.已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移a米，重复前面中的操作，再次测量人与镜子的距离，则镜子后移距离a为______米.
四、双空题
14．在中，已知，，，D为边上一动点，过点D作一条直线交边于点E，.
（1）若D为中点，且，则___________.；
（2）设，则的最大值是___________.
五、解答题
15．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.
(1)求边AB的长；
(2)求的面积.
16．如图，在直三棱柱中，D，E分别为线段，上的点，且平面.
（1）求证：；
（2）当D为的中点，时，求证：.
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求B；
（2）设，若点M是边上一点，，且，求a，c.
18．如图，在棱长为2的正方体中，M为棱的中点，P为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱，上.
（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求多面体的体积.
19．在长方体中，，，，以O为原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则点可用有序数组表示.空间中任意一点可用有序数组表示，定义空间中两点，的距离.
（1）若点P为边（含端点）上的动点，证明：为定值；
（2）P，Q，R为空间中任意三点，证明：；
（3）若，，其中，求满足的点R的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于.
参考答案
1．答案：A
解析：，所以复数在复平面上的点为，所以点在第一象限
故选：A
2．答案：B
解析：因为为平行四边形,
则由,
.
故选：B.
3．答案：D
解析：由以及余弦定理得,
故选：D
4．答案：B
解析：由，，，则α，β可能相交，
故“”推不出“”，
由，，，由面面平行的性质定理知，
故“”能推出“”，
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．答案：A
解析：圆锥的底面半径为r，
由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得，
即圆锥底面半径，
则.
故选：A.
6．答案：B
解析：在图1中的几何体中,水的体积为,
在图2的几何体中,水的体积为,
因为,可得,解得.
故选:B.
7．答案：C
解析：梯形ABCD旋转一周形成圆台，且圆台的