高考数学(理)专题复习:规范练5-2-2 含答案.doc
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大题规范练(二)
(满分70分,押题冲刺,70分钟拿到主观题高分)
解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S4=24,S7=63.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=2eq\s\up10(an)+(-1)n·an,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)∵{an}为等差数列,
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4=4a1+\f(4×3,2)d=24,S7=7a1+\f(7×6,2)d=63))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=3,d=2))?an=2n+1.
(2)∵bn=2eq\s\up10(an)+(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1),
∴Tn=2×(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n(2n+1)]=eq\f(8?4n-1?,3)+Gn.
当n=2k(k∈N*)时,Gn=2×eq\f(n,2)=n,∴Tn=eq\f(8?4n-1?,3)+n;
当n=2k-1(k∈N*)时,Gn=2×eq\f(n-1,2)-(2n+1)=-n-2,
∴Tn=eq\f(8?4n-1?,3)-n-2,
∴Tn=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8?4n-1?,3)+n?n=2k,k∈N*?,\f(8?4n-1?,3)-n-2?n=2k-1,k∈N*?))
2.(本小题满分12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为eq\f(4,5).第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得奖金1000元;若未中奖,则所获得的奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为eq\f(2,5),每次中将均可获得奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列;
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?
解:(1)P(X=0)=eq\f(1,5)+eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(1,5)=eq\f(7,25),P(X=500)=eq\f(4,5)×eq\f(1,2)=eq\f(2,5),P(X=1000)=eq\f(4,5)×eq\f(1,2)×eq\f(4,5)=eq\f(8,25),
∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1000
P
eq\f(7,25)
eq\f(2,5)
eq\f(8,25)
(2)由(1)可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)=500×eq\f(2,5)+1000×eq\f(8,25)=520,
若选择方案乙进行抽奖,中奖次数ξ~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3,\f(2,5))),则E(ξ)=3×eq\f(2,5)=eq\f(6,5),抽奖所获奖金X的期望E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,
故选择方案甲较划算.
3.(本小题满分12分)如图所示,该几何体由一个直三棱柱ADE-BCF和一个正四棱锥P-ABCD组合而成,AD⊥AF,AE=AD=2.
(1)证明:平面PAD⊥平面ABFE;
(2)若正四棱锥P-ABCD的高为1,求二面角C-AF-P的余弦值.
解:(1)证明:∵直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE,
∴AB⊥AD,又AD⊥AF,AB∩AF=A,
∴AD⊥平面ABFE,∵AD?平面PAD,
∴平面PAD⊥平面ABFE.
(2)∵AD∥BC,AD⊥平面ABFE,∴BC⊥平面ABFE,且AB⊥BF,建立以B为坐标原点,BA,BF,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴的空间直角坐标系,如图所示.
∵正四棱锥P-ABCD的高为1,AE=AD=2,
∴A(2,0,0),E(2,2,0),F(0,2,0),C(0,0,2),P(1,-1,1),
∴eq\o(AF,\s\up10(→))=(-2,2,0),eq\o(CF,\s\up10(→))=(0,2,-2),eq\o(PA,\s\up10(→))=(1,1,-1),
设n1=(x1,1,z1)是平面ACF的一个法向量,则n1⊥eq\o(AF,\s\up10(→)),n1⊥eq\o(CF,\s\u