第课时 正余弦定理.doc

课程/科目： 高中数学 合同编号： 学员姓名： 年级：高三 上课日期： 上课时间： 学科教师：何鹏 学科组长签名及日期 课 题 第11课时 正余弦定理 学习目标 掌握正、余弦定理的内容 熟练正余弦定理的应用 考点及考试要求 正余弦定理分别在三角函数或者其他函数的综合考察，并解决函数有关问题. 教学内容 知识点与考点 一. 正弦定理： 1、任意三角形中的正弦定理：.其中 证明过程： 证法一：（等面积法）在任意斜△ABC当中，S△ABC=. 两边同除以即得：==. 证法二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D， ∴， 同理 =2R，＝2R. 正弦定理及有关变形式：t 形式一：； 形式二：；；；（角到边的转换） 形式三：，，；（边到角的转换） 形式四：；（求三角形的面积） 二.余弦定理： 1、任意三角形中的余弦定理：，其中 证明：如图在中，、、的长分别为、、. ∵， ∴ . 所以 即得 思考：如何证明和？ 2．余弦定理及有关变形式：t 形式一：，， 形式二：，，，（角到边的转换） 三、利用正余弦定理解三角形常见的四种类型 已知两角与一边：由及正弦定理，可 求出，再求。 已知两边与其夹角，由，求出，再由余弦定理， 求出角。 （3）已知三边，由余弦定理可求出。 （4）已知两边及其中一边的对角，由正弦定理，求出另一边的 对角，由，求出，再由求出，而通过 求时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： 90° 90° 90° 一解 一解 一解 无解 无解 一解 两解 无解 无解 一解 无解 课前热身 1、已知在△ABC中,,那么的值为（ ） A、 B、 C、 D、 2、已知三角形的三边长分别为,和，则最大角为（ ） A、150° B、120° C、60° D、75° 3、正弦定理适应的范围是（ ） A、直角三角形 B、锐角三角形 C、钝角三角形△ D、任意三角形 4、△ABC中，，则△ABC为（ ） 5、△ABC中,60°,,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为（ ） A、 B、 C、 D、 6、在△ABC中,，则△ABC的最小角的度数为 。 7、在△ABC中，,60°，45°，则 , 。 如下图所示，半圆的直径，，为半圆上任意一点，以为一 边作正三角形ABC，问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？ 典型例题 例1在中， ⑴ 已知： acosB=bcosA ,试判断形状; ⑵求证：。 解:(1)由正弦定理,得 a=2RsinA,b=2RsinB ，即 acosB =bcosA。 ∴sinA cosB=sinB cosA，即 sinA cosB- cosA sinB=0， sin(A-B)=0。 ∴ A-B=0 ,A=B，∴为等腰三角形. (2) 证明：左边==-2（）。 由正弦定理，得，故成立。 例2、在△ABC中，已知角A、B、C对应的边分别为a、b、c，．且 C=2A．cos A= (1)求cosC和cosB的值；(2)当时，求a、b、c的值． 例3、已知的周长为，且． （I）求边的长；（II）若的面积为，求角的度数 例4、设的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc . (Ⅰ) 求sinA的值； (Ⅱ)求的值. 例5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足S＝（a2＋b2－c2）.（Ⅰ）求角C的大小;（Ⅱ）求sinA＋sinB的最大值. 当△ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是. 经典练习 1、在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则∠ABC的余弦值为___________ 2．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则