北京科技大学考研高等代数2003-2014.doc

北 京 科 技 大 学 2004年硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 高等代数 （共 两 页） 适用专业： 应用数学、计算数学、运筹学与控制工程 说明：①所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。 ②考试用具：不得使用任何电子计算仪器。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一．（15分）计算行列式：。 二．（15分）设三阶方阵，试计算。 三．（20分）证明： （1）若都是阶方阵，且，则。（表示矩阵的秩） （2）若阶方阵满足条件，则。 四．（15分）已知：在四维向量空间中，，，求。 五．（20分）设，是二维向量空间的一组基，，。是上的一个线性变换，且，。 （1）写出线性变换在基之下的矩阵。 （2）求出线性变换的逆变换。 （3）求出线性变换的特征值和特征向量。 （4）求出线性变换的全部不变子空间。 六．（20分） （1）若矩阵与矩阵相似，证明：与有相同的特征值。 （2）举例说明，上述命题的逆命题不成立。 （3）若与均为对称矩阵，则（1）的逆命题成立。 第1页 （续上页） 七．（15分）求一个三次多项式，使得能被整除，而能被整除。 八．（15分）若是阶方阵，且对任意的非零向量，都有。证明：存在正定矩阵及反对称矩阵，使得，并且对任意向量，都有，。 九．（15分）如果都是幂等（，）的线性变换。证明： （1）如果，则也是幂等变换。 （2）如果是幂等变换，则。 第2页 北 京 科 技 大 学 2011年硕士学位研究生入学考试试题 ============================================================================================================= 试题编号： 825 试题名称： 高等代数 （共2页） 适用专业： 数学 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。 ============================================================================================================= 注意：第一、二大题不必抄题，在答题纸上写清题号即可。 一．填空题（本题20分，每小题4分） 1． 已知为阶方阵，则是3阶可逆矩阵，的第1行与第2行交换后得到矩阵，则 。 3． 已知方程组有无穷解，则 。 4． 设，且有一特征值，则 。 5．从的基到基 的过渡矩阵 。 二．选择题（本题20分，每小题4分） 1． 设5阶矩阵的秩为3，那么其伴随矩阵的秩为 。 （A） 0 （B） 1 （C）3 （D）5 2． 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 。 （A），， （B），， （C），， （D），， 3． 设三元非齐次线性方程组的两个解为，且系数矩阵的秩为2，则对于任意常数方程组的通解为 。 （A） （B） （C） （D）的非零特征值 (A) 4 (B) 3 (C) 2 　(D) 1 5． 已知4阶行列式D的某一行元素及其余子式都为a，则D等于 。 （A）0 （B） （C） - （D）4 三．（本题15分）计算阶行列式