CGMO2015_2015第14届中国数学女子奥林匹克试题及答案讲义.doc

2015中国女子数学奥林匹克 第一天201年8月12日　上午8:00 ~ 12:00广东　1．如图，在锐角△ABC中，AB AC，O为外心，D为边BC的中点．以AD为直径作圆与边AB、AC分别交于点E、F．过D作DM∥AO交EF于点M．求证：EM = MF．．，且 求证：对于任意实数，和中都至少有一个不小于．（李胜宏供题） 3．4．对每个正整数为与2015的最大公数，求满足下列条件的有序三元组的个数：1) ；2) 这七个数不同．中国女子数学奥林匹克 第天201年8月1日　上午8:00 ~ 12:00广东　．．外离，它们的一条外公切线与分别切于点，一条内公切线与分别切于点．设是直线的交点，是上一点，过作的切线与线段的中垂线交于点，过作切于点．求证：．（付云皓供题） 7．设．求证： ． 8．．黑板上写着个集合，然后进行如下操作：选取黑板上两个互相不包含的集合，擦掉它们，然后写上和．这称为一次操作．如此操作下去，直到任意两个集合中都有一个包含另一个为止．对所有的初始状态和操作方式，求操作次数的最大可能值．（朱华伟供题） 试题解答 1．如图，在锐角△ABC中，AB AC，O为外心，D为边BC的中点．以AD为直径作圆与边AB、AC分别交于点E、F． 过D作DM∥AO交EF于点M．求证：EM = MF． 证明 如图，连接DE、DF，过O作ON⊥AB交AB于点N． 由题意可知，DE⊥AB，DF⊥AC． 因此，ON∥DE． 又因为DM∥AO，所以∠EDM =∠AON． 因为O为△ABC外心，所以∠AON = ∠ACB． 从而∠EDM =∠ACB． 同理可得，∠FDM = ∠ABC． 在△EDF中，有 ， 即EM = MF． 2．设，且 求证：对于任意实数，和中都至少有一个不小于． 证明 由于，与皆为正数，因此对任意实数， 而 又，故．问题得证． 3．把12×12的方格纸的每个单位方格染成黑色或白色，使得由方格线围成的任何3×4和4×3长方形内都至少有一个黑格．试求黑格个数的最小值． ．先证明．由于12×12单位方格纸可划分为个（除边界外）互不相交的3×4方格长方形．由题设可知这些长方形各至少有一个黑色方格，故至少要涂12个黑色方格． 要证明，只需构作一个可行的例子，见下图． 4．对每个正整数，记为与2015的最大公约数，求满足下列条件的有序三元数组的个数： 1) ； 2) 这七个数两两不同． 解 分解质因数．是2015的约数，只有8种情况．我们把满足的叫做零型数，把满足取或或的叫做一型数，把满足取或或的叫做二型数． 我们使用下面两个简单的事实： 对任意整数，，因此本题可以看做在模2015意义下讨论，即模2015同余的两个数看成相同． 对素数，若,两者都成立则，若恰有一个成立则． 把满足条件三元组对应为七元组，我们考虑A的七个位置上的数的值的分布．首先这七个值不能有2015，否则，若某个位置上的数是2015的倍数，则A中存在另外两个位置上的数满足或，这样就有，矛盾．所以七个值必须是1,,,,,,各一个．这样A的七个位置必须是3个二型数、3个一型数、一个零型数．我们关心三个二型数在哪三个位置上． 设是5,13,31的任意排列，若满足，，，则有，，，可得，同理有，，．因此当确定A中的三个二型数的位置后，如果其它四个位置可以分别表示为的3个两两线性组合与三个数的线性组合(要求线性组合系数是)，我们就可断定A中的七个位置的值互不相同，我们把这种可以线性组合成功表示的三个二型数的一组位置叫做合理位置．在一组合理位置上，当我们确定的取值(模2015意义下)后，七元组A也被唯一决定了．在模2015意义下，满足的恰好有个，满足的恰好有个，满足的恰好有个，此外的顺序或者说的顺序可以调换，因此每组合理位置下，的取值有种可能，也就恰好对应8640个满足条件的三元组． 我们关心哪组位置可能是合理的．对素数，七元组A中恰好有3个位置是的倍数，若这三个位置至少有两个的倍数，不妨设，则在此前提下并且，这时A中不能恰有3个位置是的倍数．所以,,的素因子个数总共不超过3，这三个位置上至多有一个二型数，也就是这四个位置上有2或3个二型数． 若中有三个二型数，二型数的位置有4种可能情况： 若是三个二型数，则,,是三个一型数，是零型数，位置合理． 若是二型数，则，，位置合理．