江苏泰兴中学2016年高二数学联赛初赛模拟训练3（强化班）苏教版.doc

高二数学2016年联赛初赛模拟训练（3） 班级： 姓名： 一．填空题（每小题7分，共70分） 1. 已知正整数数列满足，．若，则= . 2. 函数的值域为____________. 3. 在△中，，，则△的最大角的余弦值为______． 4．在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是 _______ 5．若恒成立，则的取值范围是________________ 6. 去掉集合中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为 ___________ 7． 在四面体中，，，面，则四面体的外接球的半径为____________. 8. 三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为____________. 9. 若且，则称为集合的孤立元素.那么，集合1，2，3，4，5，6，7，8，9的无孤立元素的4元子集有 个. 10. 共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为，若椭圆的短轴长为双曲线的虚轴长的2倍，则的最大值为____________. 二、解答题(每小题20分，共80分) 11. 当时，不等式恒成立，试求的最大值． 12. 已知函数， （1）求函数的最值； （2）如果函数在上恰有2014个零点，求的取值范围. 13. 设是双曲线上的两点，点是线段的中点，线段的垂直平分线交双曲线于两点． （1）确定的取值范围； （2）试判断四点是否共圆？并说明理由． 14. 在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：，． 高二强化班2016年联赛初赛模拟训练（3）参考答案 1. 3 .2. .3. ． 4． 5 ． .6. 2068 .7． . 8. .9. 21 个.10. . 11. 解法1 令. （1）先考虑时的情况， ①若，即，则由题意知，即 ，整理得. 设，，其中，，则. 设，且，则 ， 等号成立的条件是：，，，即，. ……10分 ②若，即，则由得，所以，从而可得，此时； ③若，即，则； ……15分（2）当时，由得，故. 综合可知：的最大值为2． ………20分 解法二 特殊值法. 在不等式中取特殊值，得． …………………10分 当且仅当时，． 所以，的最大值为2． ……20分 12.解 （1）因为，所以是以为周期的函数，故只需考虑在上的最大值. ①当时，令，则，，易知在区间上单调递减，所以，的最大值为，最小值为. ②当时，令，则，，易知在区间上单调递增，所以，的最大值为，最小值为 综合可知：函数的最大值为，最小值为. …10分 （2）因为是以为周期的函数，可以先研究函数在上的零点个数，易知. 当时，令＝0，解得或1.在上无解，在上仅有一解. 当时，令，解得或1.在上无解，在上也无解. 综合可知：函数在上有两个零点，分别为和. 又因为是以为周期的函数，所以，若，则在上恰有个零点. 又已知函数在上恰有2014个零点，所以. …………………20分 13. （1）依题意，可设直线的方程为，代入双曲线方程并整理得 ① 设，则是方程①的两个不同实根，于是可知 ② 且． 又是线段的中点，故，解得，故直线的方程为，即． 将代入②，得，解得． 又是线段的垂直平分线，故所在直线的方程是，即，将其代入双曲线方程，整理得 ③ 由题意，方程③也有两个不同实根，所以，解得． 又，于是可得：的取值范围为． …………………10分 （2）设，线段的中点为，则是方程③的两根，所以，，于是，． 于是，由弦长公式可得 . 又方程①即，同理可得. 显然，又是线段的垂直平分线，假设存在使得四点共圆，则必为该圆的直径，点为圆心． 又点到直线的距离为，由勾股定理得 ． 又 ，所以． 故当时，四点均在以为圆心、为半径的圆上． …………………20分 14. 在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项