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【创新设计】2015-2016学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课时作业课案.doc

发布:2017-05-25约4.33千字共7页下载文档
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3.1.1 数系的扩充和复数的概念 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件. 1.复数的有关概念 (1)复数 ①定义:形如a+bi的数叫做复数,其中a,b∈R,i叫做虚数单位.a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部. ②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi. (2)复数集 ①定义:全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示:通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系 (1)复数(a+bi,a,b∈R) (2)集合表示: 3.复数相等的充要条件 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+dia=c且b=d. [情境导学] 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数.数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,象x2=-1这个方程在实数范围内就无解,那么怎样解决方程x2=-1在实数系中无根的问题呢?我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?本节我们就来研究这个问题. 探究点一 复数的概念 思考1 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢? 答 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同时得到一些新数. 思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i2=-1. (2)i与实数之间可以运算,亦适合加、减、乘的运算律. (3)由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾,所以实数集中很多结论在复数集中不再成立. (4)若i2=-1,那么i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1. 思考3 什么叫复数?怎样表示一个复数? 答 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,复数通常用字母z表示,即z=a+bi,这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a、b分别叫做复数z的实部与虚部. 思考4 什么叫虚数?什么叫纯虚数? 答 对于复数z=a+bi(a,b∈R),当b≠0时叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数. 思考5 复数m+ni的实部、虚部一定是m、n吗? 答 不一定,只有当m∈R,n∈R,则m、n才是该复数的实部、虚部. 例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数还是纯虚数. ①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0. 解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数. 反思与感悟 复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举出例子;若不存在,请说明理由. (1)实部为-的虚数; (2)虚部为-的虚数; (3)虚部为-的纯虚数; (4)实部为-的纯虚数. 解 (1)存在且有无数个,如-+i等;(2)存在且不唯一,如1-i等;(3)存在且唯一,即-i;(4)不存在,因为纯虚数的实部为0. 例 当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解 (1)当,即m=2时,复数z是实数; (2)当 即m≠0且m≠2时,复数z是虚数; (3)当 即m=-3时,复数z是纯虚数. 反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等式求参数. 跟踪训练2 实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解 (1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0,且有意义即m-1≠0,解得m=-3. (2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3. (3)要使z是纯虚数,m需满足=0,m-1≠0, 且m2+2m-3≠0, 解得m=0或m=-2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小? 答 如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小. 思考2 两个复数相等的充要条件是什么? 答 复数a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 例3 已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求x与y. 解 由复数相等的充要条件得 解得 反思与感悟 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数. 跟踪训练 已知=(x2-2x-3)i(x∈R),求x的值. 解 由复数相等的定
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