专题09 六类几何最值模型专项训练-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北京版）（解析版）.docx
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专题09.六类几何最值模型专项训练
本专题包含将军饮马、遛马（造桥）、瓜豆、费马点、胡不归、逆等线模型及代数法求几何最值。
1．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在正方形中，，点E是线段BC上的动点，点F在线段上方，，且，连接FA，FD，则的最小值为．
【详解】解：如图1，作，交的延长线于点G．
∵四边形为正方形，∴，，
∵，∴，∴，
∵∴，∴，∵，∴，∴，
∵∴，∴点F总在的角平分线上．
如图2，在延长线上截取，则点D和点H关于直线对称，
连接，当点A、F、H在同一直线上时，的值最小，为长度．
在中，，即的最小值为．故答案为：
2．（23-24八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在，上，则的最小值为．
【答案】
【详解】解：如图，将线段沿翻折得到线段，过点作于，连接．
??
，，由翻折可知，，，，
，又，的最小值就是线段的长，
在中，，，，则，
∴，，，
的最小值为，故答案为．
3．（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，正方形边长为8，点在对角线上运动，为上一点，，则长的最小值为．
??
【答案】
【详解】解：∵四边形是正方形，∴点B与D关于直线对称，
连接，交于，连接，∴，∴，
∴即为所求的点，∴的长即为的最小值，∵正方形，∴，，
??
∵，∴，∴．∴长的最小值为；故答案为：．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为8的菱形中，，为上方一点，且，则周长的最小值为．
【答案】/
【详解】解：过A作于E，∵四边形是菱形，，∴，
∴，∴
∴，设点P到的距离为h，∴，
即点P在平行于且到的距离为2的直线l上，
作点B关于直线l的对称点G，连接交直线l于点P，则此时，的值最小，最小值为的长，
∵，∴，∴，
∴，∴最小值为，
∴周长的最小值为故答案为：．
5．（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，且a，b满足，点C是线段上一个动点，以原点O为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，连接．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求证：；(3)求的最小值．
【答案】(1)为等腰直角三角形(2)答案见详解(3)
【详解】（1）解：∵，，∴，
∴，∴，∵，∴为等腰直角三角形．
（2）解：如图所示，连接．∵，∴，
又∵，∴∴，，
∵，∴，∴为直角三角形，
∵在和中，，，，∴．
（3）解：如图所示，过点B作的对称点，过作于点F，则，，则，∴的最小值即为的最小值，∴当三点共线时，最小，即长，∵，，，∴，∴，在中，，∴的最小值为．
6．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在矩形中，为的中点，若为边上的两个动点，且，则线段的最小值为．
【答案】
【详解】解：在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接与交于一点即为Q点，连接，过A点作的平行线交于一点，即为P点，过G点作的平行线交的延长线于H点．，，四边形是平行四边形，∴，
??
∵E为边的中点，∴，
F点与点G关于对称，垂直平分，，
∴，，，
∴，线段的最小值为，故答案为：．
7．（2024·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，如图l所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC沿AC的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是__；（2）A′B+D′B的最小值为__．
【答案】????平行四边形????2
【详解】（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=AB=2，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=AC=，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH=，在Rt△BHC″中，BH=，HC″=3，
∴，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2，∴A′B+D′B的最小值为2，故答案为：2．
8．（2024·陕西·三模）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为______．
【答案】
【详解】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G