2012高考数学考前三个月专题复习课件8︰系列4选讲.ppt

* [1，＋∞) (－∞，－3]∪[3，＋∞) 1 * §4　不等式选讲 真题热身 (2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|3. 解　原不等式可化为或 解得≤x或－2x. 所以原不等式的解集是. 考点整合 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)－a； (2)|f(x)|a(a0)－af(x)a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3．柯西不等式 (1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立． (2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(a)(b)≥(aibi)2，当且仅当＝＝…＝(当某bj＝0时，认为aj＝0，j＝1,2，…，n)时等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立． 4．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、数学归纳法等． 分类突破 一、含绝对值的不等式的解法 例1　(2011·课标全国)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 解　(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1. 故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}． (2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0. 此不等式化为不等式组或 即或 因为a0，所以不等式组的解集为{x|x≤－}． 由题设可得－＝－1，故a＝2. 归纳拓展　解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．一般方法有：零点分段法、平方法、等价转化法．常用方法是零点分段法，其基本步骤为：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． 变式训练1　(2011·辽宁)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． (1)证明　f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 当2x5时，－32x－73，所以－3≤f(x)≤3. (2)解　由(1)可知， 当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集； 当2x5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x5}； 当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6.} 二、不等式的证明 例2　(2010·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立． 证明　方法一　因为a，b，c均为正数，由均值不等式得 a2＋b2＋c2≥3(abc)，① ＋＋≥3(abc)，所以(＋＋)2≥9(abc). ② 故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2≥3(abc) ＋9(abc). 又3(abc) ＋9(abc)≥2＝6，③ 所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc) ＝9(abc)时，③式等号成立． 故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立． - - - - - 方法二　因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac. 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.① 同理＋＋≥＋＋，② 故a2＋b2＋c2＋(＋＋)2 ≥ab＋bc＋ac＋＋＋ ≥6.③ 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 故当且仅当a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立． 归纳拓展　证明不等式的常用方法有：比较法、分析法、综合法等．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有： (1)a2≥0； (2)|a|≥0； (3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式有 a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab； a2＋b2≥(a＋b)2；≥2； (4)≥；它的变形形式有 ＋≥2(ab0)；＋≤－2(ab0)． 变式训练2　设a，b，c均为正实数，求证：＋＋＋abc≥2. 证明　因为a，b，c是正实数，由平均不等式可得 ＋＋≥3， 即＋＋≥. 所以＋＋＋abc≥＋abc. 而＋abc≥2＝2， 所以＋＋＋abc≥2.