2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷（三组二试）.pdf

2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷

（三组二试）

一、填空题（共3小题，每小题0分，满分0分）

1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相

向而行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时

出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是．

2．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举

旗，2人护旗．则n最小等于．

3．自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，

BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为

S，S，S，S，S，S，若S﹣S＝2，S﹣S＝1，那么S﹣S＝．

123456561243

二、解答题（共3小题，满分0分）

4．小华把数字2～9分成4对，使得每对数的和为质数．问一共有多少种不同的分法？

5．将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a，a，…，a，其

1237

中a＝37，a＝1，并使得a+a+…+a能被a整除（k＝1，2，…，36），求a＝？

1212kk+13

a37＝？

6．15张卡片，每张卡片上写有3个不同的汉字，任意2张上的汉字不完全相同；任意6

张中，一定有2张，它们上面有共同的汉字．问：这15张卡片上最多有多少个不同的

汉字？

2010年第十五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛总决赛

试卷（三组二试）

参考答案与试题解析

一、填空题（共3小题，每小题0分，满分0分）

1．静水中，甲船速度是乙船速度的两倍．甲、乙两船沿河分别从A、B两地同时出发，相

向而行，相遇时距A、B两地的距离之是3：1，如果甲、乙两船分别从B、A两地同时

出发，相向而行，相遇时距A、B的距离之比是5：7．

【分析】由甲船速度是乙船速度的两倍先设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，

水速为y，根据甲、乙两船相向而行，相遇时距A、B两地的距离之比是3：1，可知从

A到B为顺水，从B到A为逆水，就可得出第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣

y）＝3：1，即可求出x＝4y；那么甲、乙两船分别从B、A两地同时出发，相向而行，

第二次相遇时的速度比为：（2x﹣y）：（x+y），再由x＝4y，即可求出相遇时距A、B

的距离之比．

【解答】解：设在静水中乙船速度为x，则甲船速度为2x，水速为y，

第一次相遇时的速度比：（2x+y）：（x﹣y）＝3：1，

即可求出x＝4y；

第二次相遇时的速度比为：（2x﹣y）：（x+y），

因为x＝4y，

所以（2x﹣y）：（x+y）＝（2×4y）：（4y+y）＝7：5，

即相遇时距A、B的距离之比5：7．

故答案为：5：7．

2．一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举

旗，2人护旗．则n最小等于141．

【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15＝225

人，设有k个方阵，那么8n＝225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余