数列的通项公式求法举例.doc

数列通项公式的求法举例 郝 建 英 （武安市第十中学 056300） 摘 要：数列是高中数学的重要内容,在高中数学中占有重要地位. 数列的通项公式就像函数中的解析式一样,对研究数列的性质起着重要的作用.在高考和模拟考试中,求通项公式是常考知识点,所涉及题型繁杂,方法琐碎,求解方法多,技巧强,灵活度大,求数列通项公式的过程中涉及到的归纳思想、函数思想、方程思想、化归思想、递推思想、分类讨论思想,也是解决很多数学问题的重要思想方法,因此求数列通项公式是数列的一个难点,要根据不同数列选取不同的方法,在此探讨一下几种常见数列的通项公式的求法. 关键词: 数列；通项公式；等差数列；等比数列 1引言 数列是高中数学的重要内容之一，是衔接初等数学与高等数学的桥梁.[1]纵观高考数学题,都有求数列通项公式的问题,为使学生做题更快,更准,对不同的题目有的放矢,通过参考高考题及资料,整理归纳了求数列通项公式常用的五种方法.虽不能对求数列通项公式方法“一网打尽”,也希望通过此文能对学生解题起到一定的帮助. 2观察法 对于一些有规律的数列来说,给出数列的前几项,则可根据观察数的排列规律直接写出数列的通项公式. 例1： 思考与分析： 根据观察前几项,可以得出,奇数项都是-1偶数项都是1,所以 例:2： 思考与分析：根据观察可知数列的项是由正整数的倒数组成的 ,因此 根据数列的前几项求它的一个通项公式,要注意观察每一项的特点,可以用添项,拆项, 还原,分割等方法,转化为一些常见数列的通项公式来求.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正、负符号变化,可以用或来调整. 3.公式法 若题中给出是等差数列或等比数列,则可通过求出相关的项,公差,公比,直接写出通项公式. 例1：（2012北京海淀二模）已知公差不为的等差数列的前项和为,,且成等比数列． ⑴ 求数列的通项公式； ⑵ 求数列的前项和公式． 思考与分析:本题第一问求数列的通项公式是高考和模拟考试中常考的题型,已知是等差数列,由等差数列前n项和公式可以建立一个含有首项与公差的方程,再由 成等比数列建立另一个含有首项与公差的方程,联立方程组求出首项和公差,再根据等差数列的通项公式直接写出.解答中体现了方程组的思想,在用公式法求解的题目中经常用到.第二问在此不讨论. 解：设等差数列的公差为,则,,． 从而由,得 ……① 由成等比数列,得,于是 ……② 由①②,解得,． 从而,． 例2：已知数列的首项,公比,设数列的通项为,求数列的通项公式. 解：由题意,又是等比数列,公比为q,所以,故数列是等比数列, ,所以[2] 在解答过程中,利用等比数列的定义式,从第二项起,每一项与它前一项的比是同一个常数(不为零),将数列的后项比前项,从而达到解题的目的. 4固定模型法 4.1已知关系式,求 解决方法是：……………(﹡) 例：(2012高考数学江西卷)已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8. 确定常数k并求 求数列的前n项和 思考与分析：本题考查数列的通项,递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用. 第二问中涉及到求数列的通项公式,利用(﹡)来实现与的相互转化,这也是数列问题比较常见的技巧之一,要注意不能用来求解首项,首项一般通过来求解. 解：（1）当时,取最大值,即,故.因此,从而又,所以. 略. 在解答题中,正确求出数列的通项公式往往是解题的关键步骤,有时会起到承上启下的重要作用,本题的第二问要求数列的前n项和就要先正确求出数列的通项公式. 4.2已知关系式,求 解决方法是：……………..(﹡) 例已知数列的前n项和满足求数列的通项公式.与的关系,即递推公式,然后用迭代或构造法求出 解:由,当时,有, 化简得：经验证也满足上式,所以 总之：利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并．.有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这种方法求解. 例: 在数列{}中,=1, (n=2、3、4……) ,求{}的通项公式. 思考与分析：解决本题的关键是把递推关系式转化为,进而用累加的方法求出数列的通项公式. 解：∵ 这n-1个等式累加得：= 故 且也满足该式 ∴ (). 5.2累乘法:已知 求数列求通项公式 若数列满足,其中f(n)是可以求积的数列,那么可以用累乘法消去中间项求出. 例：已知数列中, ,求的通项公式. [