山东高考2009-2013五年数学圆锥曲线压轴大题.doc

2009年 22. （本小题满分14分） 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知,设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:（1）因为,,, 所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线. (2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. (3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1, 由（2）知, 即 ① 因为与轨迹E只有一个公共点B1, 由（2）知得, 即有唯一解 则△=, 即, ② 由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以,, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即 当时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.（22）（本小题满分14分） 如图，已知椭圆过点. ，离心率为，左、右焦点分别为、 .点为直线上且不在轴上的任意 一点，直线和与椭圆的交点分别为、 和、，为坐标原点. （I）求椭圆的标准方程； （II）设直线、的斜线分别为、. （i）证明：； （ii）问直线上是否存在点，使得直线、、、的斜率、、、满足？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由. 【命题意图】本小题主要考查椭圆的基本概念和性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想、分类讨论思想以及探求解决新问题的能力。 【解析】， 所以 故 所求椭圆方程为 ． （II）（1）证明： 方法二: 因为点P不在x轴上，所以 又 所以 因此结论成立 （ⅱ）解：设，，，． 故 若，须有=0或=1． ①?当=0时，结合（ⅰ）的结论，可得=－2，所以解得点P的坐标为（0，2）； ②?当=1时，结合（ⅰ）的结论，可得=3或=－1（此时=－1，不满足≠，舍去?），此时直线CD的方程为，联立方程得， 因此 ． 综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，（，）。 2011 22、（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆. 如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若 （1）求证：直线过定点； （2）试问点能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.22.【解析】考查椭圆的概念性质，直线和椭圆的关系，考查探究、计算推理能力，难题。 解：（Ⅰ）由题意:设直线, 由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得 ，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2. （Ⅱ）（i）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且?，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0). （ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上, 由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为. 的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程； (Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值. 答案：(21)(I)……① 矩形AB