第四章函数复习.docx

　eq \a\vs4\al(,,,第四章,,指数函数与对数函数) 4．1　指数 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解n次方根及根式的概念． 2．了解指数幂的拓展过程． 3．掌握指数幂的运算性质． 重点 难点 重点：实数指数幂的运算及其性质． 难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂． (一)根式的概念及其性质 1．a的n次方根的定义 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 eq \r(n,a) R n为偶数 ±eq \r(n,a) [0，＋∞) 3.根式 式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 4．根式的性质(其中n＞1，且n∈N*) (1)n为奇数时，eq \r(n,an)＝eq \a\vs4\al(a). (2)n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0)). (3)eq \r(n,0)＝0. (4)负数没有偶次方根． (1)n次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，根式符号是平方根、立方根符号的推广． (2)对于根式符号eq \r(n,an)，要注意以下几点： ①n＞1，且n∈N*. ②当n为大于1的奇数时，eq \r(n,a)对任意的实数a都有意义，它表示a在实数范围内唯一的一个n次方根，从而有(eq \r(n,a))n＝a. ③当n为大于1的偶数时，eq \r(n,a)只有当a≥0时才有意义；eq \r(n,a) (a≥0)表示a在实数范围内的一个n次方根，a的另一个n次方根是－eq \r(n,a)，从而有(±eq \r(n,a))n＝a. ④式子eq \r(n,an)对任意a∈R都有意义． [即时小练] 1．求值： eq \r(3,－\f(8,27))＝________. 答案：－eq \f(2,3) 2．当x0时，x＋eq \r(4,x4)＋eq \f(\r(3,x3),x)＝________. 答案：1 3. 若＝(x－3)eq \r(5－x)，则x的取值范围是________． 答案：[3,5] (二)分数指数幂 分数 指数幂 正分数指数幂 规定：aeq \f(m,n)＝eq \r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 负分数指数幂 规定：a－eq \f(m,n)＝eq \f(1,a\f(m,n))＝eq \f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 (1)分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂aeq \f(m,n)不可理解为eq \f(m,n)个a相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． (2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，aeq \f(m,n)有时有意义，有时无意义．如(－1)eq \f(1,3)＝eq \r(3,－1)＝－1，但(－1)eq \f(1,2)就不是实数了．为了保证在eq \f(m,n)取任何有理数时，aeq \f(m,n)都有意义，所以规定a＞0. (3)注意幂指数不能随意约分．如(－4)eq \f(2,4)＝＝[(－4)2]eq \f(1,4)＝2，而(－4)eq \f(1,2)＝eq \r(－4)在实数范围内无意义． (4)负分数指数幂在有意义的情况下，总表示正数，而不是负数． [即时小练] 1. 表示为分数指数幂的形式为________． 答案：(m－n)eq \f(2,3) 2．填表：用分数指数幂或根式的形式表示下列各式(a＞0). a2eq \r(a) a－eq \f(3,7) eq \f(1,\r(a3)) eq \r(a\r(a)) aeq \f(5,2) eq \f(1,\r(7,a3)) a－eq \f(3,2) aeq \f(3,4) 　　 (三)有理数指数幂的运算性质与无理数指数幂 1．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． (1)有理数指数幂除上述运算性质外，还有如下性质： ①ar÷as＝ar－s(a＞0，r，s∈Q)；②eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))r＝eq \f(ar,br)(a＞0，b＞0，r∈Q)． (2)有理数指数幂的几个常见结论：①当a＞0时，ab＞0；②当a≠0时，a0＝1，而当a＝0时，a0无意义；③若ar＝as(a＞0，且a≠1)，则r＝s；④乘法公式仍适用于分数指数