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第四篇 时空过程分析 1 证明题 1）给定一个MA(1)过程的数学模型 , . 试证明其自协方差函数 . 【注意：不要采用课文的推导方法，需要另辟蹊径。】 2）在协方差平稳的条件下，给定一个AR(1)过程 , . 其协方差可以表作 . 试从这个式子出发，证明Yule-Walker递推关系 . 【注意：不要采用课文中的证明方法，要另辟蹊径。提示：需要借助AR过程的性质、MA过程的性质，必要时将AR过程转化为MA过程。】 3）一阶移动平均过程即MA(1)模型可以表作 , 式中xt表示可观测的现期数值，随机冲击εt为白噪声 . 由于MA(1)过程的平均值为0，故其协方差可以表作 . 式中E表示均值算子。试证明： （1）协方差为：. （2）自相关函数为：, （3）一阶自相关函数具有对称性： 2 计算题 1） 我们在第三章“多元统计分析”中曾经要求大家以某省连续18年的工业产值、农业产值、固定资产投资为自变量，运输业产值为因变量，进行多元回归和逐步回归分析（原始数据见作业2）。现在，我们进行如下回归计算：⑴ 分别以工业产值（x1）、农业产值（x2）、固定资产投资（x3）为自变量，以运输业产值（y）为因变量，进行一元线性回归。⑵ 以时间序号（t）为自变量，以固定资产投资额的倒数（1/y）为因变量，进行非线性回归。显然，结果为双曲线模型的一种。⑶ 以工业产值、农业产值、固定资产投资为自变量，以运输业产值为因变量，进行多元线性回归。全部回归的残差列于下表。 序号 x1-y x2-y x3-y t-1/y 3 x-y 1 0.1557 0.3250 -0.8926 -0.0037 -0.3146 2 0.4439 0.4566 -1.0274 -0.0198 -0.2176 3 0.8198 0.5360 0.3403 -0.0428 0.6326 4 0.3968 0.3417 0.2418 -0.0308 0.3472 5 -0.4280 0.6597 -0.2013 0.0367 -0.3481 6 -0.0678 0.4228 0.1018 0.0055 0.0083 7 -0.2057 0.5050 0.3338 0.0315 0.0344 8 0.1520 0.1351 0.7486 0.0145 0.4480 9 -0.2820 -0.4559 0.3244 0.0101 0.0177 10 -0.4377 -0.7462 0.0808 0.0081 -0.1782 11 -0.1610 -1.0575 -0.3253 0.0156 -0.1944 12 -0.0430 -0.9062 0.2552 0.0182 0.1367 13 -0.0950 -0.8139 -0.4904 0.0121 -0.2511 14 -0.4891 -1.0146 -0.0161 0.0130 -0.2558 15 -0.8161 -1.0198 0.1046 0.0022 -0.4006 16 0.5947 0.7708 0.3522 -0.0270 0.4355 17 0.2218 0.6766 0.1732 -0.0210 0.1299 18 0.2406 1.1851 -0.1033 -0.0224 -0.0299 DW 1.3626 0.4673 1.1944 1.0071 1.8530 要求：⑴ 对表中的残差序列进行自相关分析，观察结果是否为随机序列，抑或具有某种趋势性（由于时间序列较短，最大时滞可以设为10，即计算10个自相关系数值）。 ⑵ 将自回归结果与DW检验结果进行比较，由此可以得出什么结论？ 2）现有郑州市非农业人口的时间序列（1985－2000），见下表。要求： ⑴ 分析该序列的性质，并指出郑州市规模自身影响的最大时程； ⑵ 对序列进行平稳化处理，并检验处理结果； ⑶ 基于平稳化处理结果建立ARMA(p, q)模型，并将模型返回为非线性形式。 年份 非农人口 年份 非农人口 年份 非农人口 年份 非农人口 1985 101.02 1989 113.28 1993 123.23 1997 143.18 1986 102.19 1990 115.97 1994 132.37 1998 146.51 1987 106.50 1991 118.02 1995 135.95 1999 151.54 1988 111.08 1992 119.99 1996 138.82 2000 159.47 资料来源：《河南城市统计年鉴》。 3）下面是武汉市户籍人口的时间序列（1985－2002），要求： ⑴ 分析该序列的自相关和偏自相关特征，指出序列的主要