《山东省济宁一中高二数学奥林匹克选拔赛试B卷》.doc

山东省济宁一中高二数学奥林匹克选拔赛试卷（B卷） 本卷满分120分，考试时间80分钟 命题人：贾广素 命题时间：2010年11月 一．选择题（本大题共8道小题，每小题8分，共64分） 1.已知非零实数满足,则 . 解:条件等式变形为,设,显然是单调增函数且是奇函数.又,故,所以 2.方程组的解= . 解:设是直线上的点,则原点到直线的距离, 即,即,所以同理解得所以 3.正四棱锥的一个对角面与一个侧面的比为,则其侧面与底面夹角大小为 . 解:设底面正方形的边长为1,棱锥高为,侧面三角形高为,则,则,所以 4.已知是相互垂直的单位向量,且,,,则对任意的实数, 的最小值是 . 解:由已知得,且 因此,当时的最小值为12. 5. 设，若使得的值为一平方数，则这样的共有 个. 解: 注意到由于与互质，故为完全平方数时，必为平方数.当为偶平方数时，为平方整数；当为奇平方数时，为平方整.因此，可取中所有平方数，这样的数共有44个. 6. = . 解: 解 配对 则有 约去得 解 平方，得 解方程，得 解 易知时，上式均成立，代入倍角公式，有 这表明是方程的两个根， 由于这个方程为关于的二次方程， 从而是方程的全体根， 由韦达定理，得 本题还可由两根之积顺便得出恒等式 7.平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点.那么满足不等式的整点的个数是 . 解：由可得为（0，0）、（0，1）、（0，）、（1，0）、，从而得共16个. 8. 设，对有若对一切正整数，有，则正整数的最小值为 . 解：由题意递归关系变为，所以当时， 此时，，故令，解得所以的最小值为 二.解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题，第11题20分，共56分） 9. 有小于1的正数:且求证: 【证明】由于且 所以 等号当且仅当，即时成立，从而，这是不可能的（左边为无理数，而右边为整数）.所以 10．已知，是在上的补集. （I）求证：无法从中取出无限个数组成等差数列； （II）能否从中取出无限个数组成等比数列？试说明理由. 【解】（I）能否从中取出无限个数组成等差数列，并补公差为则 而时，，，，……被除，其余数分别与，，，……被除的相同.而这些余数应该是逐一递增的. 取得后，又以周期性出现，所以存在，使得被除与被除的余数相同. 这说明：是等差数列中的项，而，故 于是，矛盾产生. 故假设不成立，要证明的结论成立. （II）能从中取出无限个数组成等比数列，例如 由于，并且当时，，故，因此， 故数列是从中取出无限个数组成的等比数列. 11．设S是所有大于的实数组成的集合，确定所有的函数，满足条件： （1）对于内所有的，有 （2）在区间和内，是严格递增的.解】在条件（1）中，令得 则是的一个不动点（即使得成立的）. 设，在式中令，得 即所以也是的一个不动点. 若，则有且 从而中有两个不动点.与在内严格递增矛盾！ 若，则，且，这也与在内严格递增矛盾！ 所以即解得 下面验证确实符合条件. 显然在S中严格递增. 对任意的，有 从而条件（1）成立. 因此，所求的所有的函数为