相似原理与量刚分析.doc

第七章 相似原理与量纲分析 第一节 相似的概念 在几何学的学习中，人们已建立起几何图形的相似概念。工程中很多物理现象也有相似的特点。 人们把可用同样形式数学式表达的物理现象群称为同类现象。 但属于同类现象的不同物理现象不一定都相似，只有当同类不同物理现象中，它们的各自空间中相对应的各点上的表征现象特性的同类物理量的比例，在时间上相对应的瞬间为常数时，两个同类的不同物理现象才相似。 由于物理现象都是在一定的空间中进行的，相似的物理现象应在相似的空间中进行。所以完整的物理现象相似应包含两个相似概念，即几何相似和物理现象本身的相似，其中包括初始条件和边界条件的相似。后者习惯被称为物理现象相似。 一、几何相似 几何相似即几何图形相似，如两个相似三角形的对应边长成比例，其比例常数可称为相似常数。如教材85页图7-1所示。 其中的Cl称为相似常数，由于相似常数是同类量之比值，因此相似常数无量纲。 二、物理现象相似 如教材86页图7-2所示为物理现象相似。质点A、B沿几何相似的路径作相似运动。 针对物理现象相似，有如下推论： （1）?????? 如果物理现象相似，则在相应的时刻，它们空间任意相应点上的任意同名物理量应该成比例关系； （2）?????? 如果物理现象相似，在选取相似的物理量作为量度单位后，将描述物理现象的数学方程式转换成的无量纲方程式应该一样。 需要注意的是，在几何相似时，相似常数只有一个，而物理相似时，由于方程式中的物理量有很多种，不同名的物理量都有各自的相似常数，如空间相似常数Cl=l/l’，时间相似常数Ct=t/t’，速度相似常数Cv=v/v’等。 各相似常数又有一定的约束关系，如对两相似质点A和B运动的物理现象，v=l/t和v’=l’/t’，则 即 或 这就是相似物理现象中相似常数关系的附加条件，C称为相似指示数或相似指标，用它来控制相似常数的关系。如果两现象相似，则其相似指标等于1。 由教材86页图7-2所示物理现象： 此式等号左右由物理参数组成的项为无量纲的不变量，或称定数，可取定数的统一符号表示，即 此式说明，像质点运动那??的物理现象相似时，则对应点上由各相关参数组成的无量纲数在对应的时间上具有相同的数值，如Ho。相似理论把此数值称为相似准数。 相似的物理过程，其各有关的物理量相似，即有各相应的相似常数存在，此为相似过程的相似特点。 第二节 流体流动过程中的相似准数 对于不可压缩流体流动，其流动过程上满足的控制方程为纳维尔-斯托克斯方程和连续性方程，现从这些控制方程出发，利用相似变换来导出流体流动过程中的相似准数。 一、相似准数的导出 以一维非稳定的粘性流体的流动为例，由纳维尔-斯托克斯方程仅沿x轴方向进行推导。 对于两个彼此相似的流动系统，设一个为实际系统，另一个为它的模型系统，前者的所有变量用原样表示，后者用“加撇号”（’）表示，则一维非稳定的粘性流体，其控制方程为 实际系统： （纳维尔-斯托克斯方程） 。。。。。。。。。（7-8） （连续性方程） 。。。。。。。。。。。。。。。。（7-9） 模型系统： （纳维尔-斯托克斯方程）。。。。。。（7-10） （连续性方程） 。。。。。。。。。。。。（7-11） 做相似变换得 。。。。。（7-12） 将相似变换式（7-12）代入式（7-10）和式（7-11），则得 。。。。。。。。。。。。。。。（7-13） 。。。。。。。。。。。。。。。（7-14） 为了使模型系统在相似变换后与实际系统一致，式（7-13）各项的组合数群必须相等，即 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（7-15） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（7-16） 式（7-16）不能给出相似常数间的任何限制，故不给出相似准数。 由式（7-15）中2与1相等得 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（7-17） 2与3相等得 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（7-18） 2与4相等得 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（7-19） 2与5相等得 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（7-20） 将相似变换式（7-12）代入式（7-17）～式（7-20）得： （均时性数） 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（7-21） （弗劳德数） 。。。。