数学物理方法 13 变分法.ppt

13.1 变分法的基本概念 13.3 光学中的泛函极值典型例子 本文观看结束！！！ 不显含 ，故其E-L方程为（13.2.7）式 令 故有 例2 试求解最速降线落径问题，即变分问题 解目前，我们只能用间接方法来求解，由于 令 分离变量得到 再令 代入上式得到 即得到 此即为摆线的参数方程，积分常数可由初始位置 （图13.1的A,B两点）决定． 13.2.2泛函的条件极值问题 在许多泛函的极值问题中，变量函数还受到一些附加条件 的限制，其中最常见和重要的一种是以积分形式表示的限制 条件 （13.2.14） 即所谓的等周问题： (13.2.15) （注：这种问题之所以称为等周问题，是因为在历史上起源 于求一条通过两点，长度固定为l的曲线 使面积 取极大值） 其中 为常数．此类问题可以仿照普通函数的 条件极值问题的拉格朗日乘子法．即将附加条件(13.2.14)乘以 参数，求其变分后，加到泛函取极值的必要条件中得到 于是问题转化为不带条件的由上式所表示的变分问题． 其对应的E-L方程为 这是通过 和 两点的 之下使泛函取极值的必要条件．它实际上是一个关于 在附加条件（13.2.14） 的二阶常微分方程．其通解中含有三个参数，即 和两个积分 常数．它们可由条件 （13.2.14）来确定 . 和附加条件 例3 求 的极值，其中 是归一化的，即 ，且已知 解 本题是求泛函的条件极值问题，可化为变分问题 对应的E-L方程为 其通解为 代入附加条件 得到 代入归一化条件得到 于是得到 ，故原极值问题的解为 而题中要求的泛函 的极值为 当 时，极值函数 使得泛函数取得最小值 例4 求泛函 在条件 下的极值曲线. 解 此时 则偏导数 .对应的Euler方程为 其通解为 代入边界条件可得 所以极值曲线为 泛函极值问题的求解,通常有两种结果： （i）解析解 由变分法得到的E-L方程求解，一般来说，是很困难的． 但在分析力学中往往还是采用这一办法来求解．因为历史悠 久，它自有一套办法． （ii）近似解 所谓近似解即由泛函本身出发，而不需求解E-L方程， 直接求得所需要的解——极值曲线 因此，常常称它为研究泛函极值问题的直接法． 例5 假设大气的光折射率 只依赖于高度 利用费马（Fermat）原理导出在大气中光线轨迹的微分方程； 解（1）根据费马原理：光线的实际路径上，光程的变分为零． （13.3.1） 其中 为介质中的光折射率， 为沿光线进行方向的路程 元．上述问题也可表示为如下泛函极值问题： （13.3.2） 由于 不显含 ，根据公式(13.2.7)，可得首次积分 （13.3.3） * * 从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似． 如果某个定解问题不能严格解出，但另一个与它差别甚微的定解问题能严格解出，那么就可以运用微扰法求近似解．量子力学教科书中一般都要介绍微扰法，限于课时，这里就不再重复介绍． 近似解法涉及：变分法，有限差分法和模拟法等． 变分法是研究求解泛函极值（极大或极小）的方法，变 分问题即是求泛函的极值问题．把定解问题转化为变分 问题，再求变分问题的解． 变分法的优点: (2) 变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题．尤其是前面介绍的斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施－刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明； (1) 变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达； (3) 变分法是解数学物理定解问题常用的近似方法，其基本思想是把数学物理定解问题转化为变分问题由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨 （Ritz）法． 由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法； (4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用． 有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程， 然后通过电子计算机求定解问题的数值解． 模拟法：即用一定的物理模型来模