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ch1-§4 数学建模教学插件1.3: 初等模型:汽车刹车距离 多项式模型(已修改)..doc

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§2.3 汽车刹车距离---多项式方法建模 源自F.R.Giordano, M.D.Weir and W.P.fox: A First course in Mathematical Modeling. Brooks/cole, 2003. ————姜启源数学模型(第三版)§2.4p32 一、问题: 1.背景:汽车驾驶员培训过程中的“2秒准则”是否有(道理)——给出合理性解释: 正常驾驶条件下:车速(在原车速基础上)每增加10英里/小时,则后车与前车之间的距离就应增加一个车身长度: 作用:后车刹车的距离与后车的车速有关,车速快,车子动能大,增加与前车的距离可以保证后车刹车的安全,不致于同前车相撞(尾追)。 具体操作办法:——“2秒准则” 增加一个车长的简便办法即“2秒准则”——即, 当前车经过某一标志时,后车司机开始计算“2秒种后”也到达同一标志,不管车速如何,即可保证后车刹车时不致于撞上前车,即不至于发生“尾追”现象。(此“2秒准则”不管车速如何都可这样操作) 2.问题:“2秒准则”的合理性的质疑: (1)“2秒准则”是否合理性 假如汽车每小时10英里/小时,计算2秒钟所行走的距离: “2秒”走过的路程为: 而车身的平均长度为:15英尺(=4.6米) 显然:2秒准则走过路程29.33英尺15英尺≈2个车身长度。 所以“2秒准则”的合理性受到质疑, 为此要寻求更合理的刹车距离方案: (2)设计出合理的刹车距离方案 二、建模机理分析——刹车机理 刹车机理分析:分析:刹车距离“”与时间“”的关系: 刹车距离 = 反应距离 + 制动距离 反应距离= 司机决定刹车起到制动器开始起作用,这段时间汽车的行驶的距离 制动距离= 以制动器开始起作用到汽车完全停止时刻,这段时间内汽车所行驶的距离。 且: 反应距离:由反应时间和车速所决定,而反应时间取决司机机灵视野程度:正常司机为常数,车速在反应时间内也是固定的速度(未改变) 即: 制动距离:由制动器作用力(制动力)、车重,车速(制动时的初速度)有关,身外与道路气候等有关。 此外: ①制动器的功用原理:制动力在制动时间内所作的功:,被汽车动能的改变所消耗:. 即 ②制动力的最大值:即最大制动力  与车的重量成正比 , 与反向加速度即“减速度”成正比,为保刹车过程的“平稳性”、安全性,假定“减速度”为常数。 ③由①和②可知:. 三、模型假定:常识假定: 1.汽车司机属正常的熟悉驾驶员,反应能力正常(无汹酒,不是新手等 ) 2.汽车制动器正常(功能正常):不失灵,无零件缺损。 3.同样气候、道路条件进行讨论(即不考虑道路,气候条件等) 四、建模:构造模型(Restatement) 刹车距离=反应距离+制动距离, 即:. 简化:实际使用时:减速度不易测定,因此,可以用待定常数 来确定。 故有模型: 五、模型求解与参数估计: 计算求解:要计算需事先确定,则有: 参数估计:实际中,为已知可由登记表盘读出,可由经验数据或曲线拟合(最小二乘法或回归分析统计方法) 即: 为要用理论模型求出,需要用实际测量值和,确定出和,即, 使得,理论值:   与实际测值:之间的误差到最小,即: 即若令 则有: 故可:由   求出和. 再作统计检验和相关性检验,此即为回归分析regration。 此处:采用经验估计和曲线拟合相结合的办法: 即:在中: 令:由经验估计值给出:秒 则: 则由 可求出  于是有 模型: 其中 与的数据来自实际测量如下表:(即由下表数据教材P33第1列与第2列给出) 第1列        第2列 车速(vi) 实际刹车距离di (英尺) 理论计算刹车距离di:英尺 实际刹车时间 (英里/小时)(英尺/秒) (下列括号的数字是刹车距离的最大值) 20 29.3 42(44英尺) 39.0 1 30 44.0 73.5(78英尺) 76.0 40 58.7 116(124) 126.2 2.1 50 73.3 173(186) 187.8 2.5 60 88.0 248(268) 261.4 3.0 70 102.7 343(372) 374.1 80 117.3 464(506) 444.8 4.3 实测 实测 由d=0.75v+0.06v2计算得出 按第2列括号内最大刹车距离计算(平均最大刹车时间) 因此有预测模型使用数学软件      可得出:实际数质质摸拟图:(拟合图) 注: 实线——为计算值, 符号×××为实际量测的刹车距离 六、模型应用——决策方案 ——由“2秒准则”应改为“
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