ch1-§4 数学建模教学插件1.3： 初等模型：汽车刹车距离 多项式模型(已修改)..doc

§2.3 汽车刹车距离---多项式方法建模 源自F.R.Giordano, M.D.Weir and W.P.fox: A First course in Mathematical Modeling. Brooks/cole, 2003. ————姜启源数学模型(第三版)§2.4p32 一、问题： 1．背景：汽车驾驶员培训过程中的“2秒准则”是否有（道理）——给出合理性解释： 正常驾驶条件下：车速（在原车速基础上）每增加10英里/小时，则后车与前车之间的距离就应增加一个车身长度： 作用：后车刹车的距离与后车的车速有关，车速快，车子动能大，增加与前车的距离可以保证后车刹车的安全，不致于同前车相撞（尾追）。 具体操作办法：——“2秒准则” 增加一个车长的简便办法即“2秒准则”——即， 当前车经过某一标志时，后车司机开始计算“2秒种后”也到达同一标志，不管车速如何，即可保证后车刹车时不致于撞上前车，即不至于发生“尾追”现象。（此“2秒准则”不管车速如何都可这样操作） 2．问题：“2秒准则”的合理性的质疑： （1）“2秒准则”是否合理性 假如汽车每小时10英里/小时，计算2秒钟所行走的距离： “2秒”走过的路程为： 而车身的平均长度为：15英尺（=4.6米） 显然：2秒准则走过路程29.33英尺15英尺≈2个车身长度。 所以“2秒准则”的合理性受到质疑， 为此要寻求更合理的刹车距离方案： （2）设计出合理的刹车距离方案 二、建模机理分析——刹车机理 刹车机理分析：分析：刹车距离“”与时间“”的关系： 刹车距离 = 反应距离 + 制动距离 反应距离= 司机决定刹车起到制动器开始起作用，这段时间汽车的行驶的距离 制动距离= 以制动器开始起作用到汽车完全停止时刻，这段时间内汽车所行驶的距离。 且： 反应距离：由反应时间和车速所决定，而反应时间取决司机机灵视野程度：正常司机为常数，车速在反应时间内也是固定的速度（未改变） 即： 制动距离：由制动器作用力（制动力）、车重，车速（制动时的初速度）有关，身外与道路气候等有关。 此外： ①制动器的功用原理：制动力在制动时间内所作的功：，被汽车动能的改变所消耗：. 即 ②制动力的最大值：即最大制动力 　与车的重量成正比　， 与反向加速度即“减速度”成正比，为保刹车过程的“平稳性”、安全性，假定“减速度”为常数。 ③由①和②可知：. 三、模型假定：常识假定： 1．汽车司机属正常的熟悉驾驶员，反应能力正常（无汹酒，不是新手等 ） 2．汽车制动器正常（功能正常）：不失灵，无零件缺损。 3．同样气候、道路条件进行讨论（即不考虑道路，气候条件等） 四、建模：构造模型（Restatement） 刹车距离=反应距离+制动距离， 即：. 简化：实际使用时：减速度不易测定，因此，可以用待定常数　来确定。 故有模型： 五、模型求解与参数估计： 计算求解：要计算需事先确定，则有： 参数估计：实际中，为已知可由登记表盘读出，可由经验数据或曲线拟合（最小二乘法或回归分析统计方法） 即： 为要用理论模型求出，需要用实际测量值和，确定出和，即， 使得，理论值：　　 与实际测值：之间的误差到最小，即： 即若令 则有： 故可：由 　 求出和. 再作统计检验和相关性检验，此即为回归分析regration。 此处：采用经验估计和曲线拟合相结合的办法： 即：在中： 令：由经验估计值给出：秒 则： 则由 可求出　 于是有 模型： 其中 与的数据来自实际测量如下表：（即由下表数据教材P33第1列与第2列给出） 第１列　　　　　　　 第２列 车速（vi） 实际刹车距离di (英尺) 理论计算刹车距离di：英尺 实际刹车时间 （英里／小时）(英尺／秒） (下列括号的数字是刹车距离的最大值) 20 29.3 42（44英尺） 39.0 1 30 44.0 73.5（78英尺） 76.0 40 58.7 116（124） 126.2 2.1 50 73.3 173（186） 187.8 2.5 60 88.0 248（268） 261.4 3.0 70 102.7 343（372） 374.1 80 117.3 464（506） 444.8 4.3 实测 实测 由d=0.75v+0.06v2计算得出 按第２列括号内最大刹车距离计算（平均最大刹车时间） 因此有预测模型使用数学软件 　　　　 可得出：实际数质质摸拟图：（拟合图） 注: 实线——为计算值， 符号×××为实际量测的刹车距离 六、模型应用——决策方案 ——由“2秒准则”应改为“