中学数学课程学与教的策略-.pdf

中學數學課程學與教的策略 – (3) 推展德育及公民教育 選舉方式 / 選舉制度的探討 數學教育組 2008年1月 1 從一個假設的情境開始 … • 假如 15 位學生負責籌辦一場 「大食會」，因為經 費和人力的限制 ，他們決定只會提供一種凍飲。 凍檸茶 紅豆冰 雜果冰 • 至於要提供哪一種 ，則有三種意見僵持不下： 凍檸茶 （用T 表示）、紅豆冰 （用B 表示） 還是雜果冰 （用C 表示）。 故事改自單維彰 （2004）：關於選舉的數學理論。.tw/~shann/scimonth/election 2 方案一…… • 於是他們決定要用最民主的方式解決紛爭 ： 「不記名投票」。 • 大家不假思索地舉行了最常見的選舉方式： 「一人一票、投給自己認為最適當的飲品、 以得到最高票數的飲品獲勝。」 •開票的結果是 T:B:C = 6:5:4 ，凍檸茶獲勝 。 3 方案二…… 「小數服從多數嘛！」 「畢竟有9個人不喜歡凍檸茶啊」 『最』不喜歡凍檸茶 … 『最』不喜歡凍檸茶 … • 有人提議說他聽說過另一種投票方法 ，比較『公 平』，那就是所謂的 「兩輪投票制」： 把第一輪投票結果中最好的兩名取出來 ，所有人 對這兩個候選飲品再投一次票。 • 第二輪的投票結果竟然是 B:T=9: ，紅豆冰獲勝 。 4 方案三…… • 為了打破那空氣中令人尷尬的沈默 ，又有一個人 小心地提議，請大家拋棄成見，再來一次。 • 這一次 ，他提議一個「最科學」的方法： 每個人給每種飲品一個分數 ，最喜歡的給兩分， 次喜歡的給一分 ，不喜歡的不給分。然後計算每 種飲品得到的分數總和 ，最高分的飲品獲勝。 • 這聽起來畢竟是一個新奇的方法 ，所以大家雖然 意興闌珊 ，還是勉強同意了。 • 15 個人很小心地在選票上填寫了分數 ，計算的結 果是 C:B:T = 19:14:12 ，雜果冰獲勝 。 5 解畫 …… •所謂選舉方式就是一套根據選民所表達的 意願將候選對象排序的規則 。 這套規則包括了蒐集選民意見的規則和計 算結果的規則 。 •數學上 ，選舉方式被視為一個函數，它的 輸入是一個集合 ——選民意願 ， 稱為 「選民卷 宗」 Record/Dossier ，而輸出就是候選對象的排序。 • 如果有N 個選民 ，卷宗裡就有N 個元素 ； 如果有 K 個選擇對象 ，卷宗裡的每個元素 就有 K 個項目 。 6 話說回頭 …… • 前面的情境 ，N=15 而K=3 。卷宗裡面的元素，就 代表選民心目中對於選擇對象的優先順序 。 • 再看前面