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关于等式与不等式的基本证明
一、考试内容
(一)介值定理
介值定理:若在上连续,且,对于之间的任一个数,
,使.()
介值定理推论1(零点定理):若在上连续,且,
则,使.()
介值定理推论2(零点定理):若在内连续,且,
则,使.()
介值定理推论3(零点定理):若在内连续,且,
则,使.()
介值定理推论4:若在上连续, ,,且,
对于之间的任一个数,则,使.(可能取到或)
(二)积分中值定理
定积分中值定理:若在上连续,则,使.
定积分中值定理推论1:设在上连续,且在上不变号,
则,使.
对于定积分中值定理及其推论1,可能取到或.
(三)微分中值定理
罗尔中值定理:若在上连续,在内可导,且,
则,使.
罗尔中值定理的推广形式1:若在上连续,在内可导,且有个不同的零点,则在内至少存在个不同的零点.
罗尔中值定理的推广形式2:若在内可导,且,
则,使.
罗尔中值定理的推广形式3:若在上连续,在内可导,且,
则在内为单调函数.
拉格朗日中值定理:若在上连续,在内可导,
则,使.
(四)不等式定理
凹凸不等式TH1: 则.
特别有.
凹凸性不等式定理2:当,且,若则.
积分不等式定理:若,则(),但反之不然.
特别有若,则(),但反之不然.
积分估值定理:若在()上连续,
则.
积分绝对值不等式定理:().
二、典型例题
题型一 恒等式证明及其逆问题
主要方法:求导法、积分法(换元(序)、分部)、待定系数法、反证法
例1、设,求证:+.
证:易得,则.
例2、可积,证明:(1);(换)
(2)并利用(1)计算.
例3、设为连续函数,且满足,求.
提示:,
两边对求导得,两边对再求导得.
例4、设为的原函数,当时,有,且,试求 .
解:,,由知, , , .
例5、可导, 为其反函数, ,证明:.
提示:令,则左右.
例6、设连续,证明:.
提示:,
则.(也可采用轮换性)
例7、若求与.
解:令,则
,
由上述两式解之得 .
例8、设在上连续,且,若,则在上,.
证明:用反证法,假设,则
,则.
这与矛盾,故原式得证.
题型二 方程根的存在性与中值问题
主要方法:介值定理、微积分中值定理、反证法
(1)在或上连续,则
例1、设在上连续,且,证:使.
提示:设,则在上连续,
,,使
同理,由,使,故在上满足零点定理.
例2、在上连续, ,且,
求证:使.(此为的加权平均值)
提示: , 有.
进一步,
则,使.(此为在上的平均值)
例3、设是满足的实数,证:在内至少有一实根.(构造在上用罗尔Th)
例4、设为上的任一连续函数,且
求证:在内至少有一根.
提示:构造在上用罗尔定理;或用积分中值定理.
(2)在或上可导,则
例1、设在连续,在上可导,且 ,
试证: ,使.(提示:)
例2、设在连续,在上可导,且对于有
试证:,使 .
提示:令,
构造函数在上用罗尔Th.
例3、设在上连续,在上可导
求证:,使.
提示:(1)令,构造在上使用Lagrange
(2)令,构造在上使用罗尔.
例4、设在上一阶可导, ,,,
证明:(1)存在,使;(2)存在,使.
提示:(1)由保序性,,使得,由零点定理知(1).
(2)存在两个零点,则在上有两个零点,用Rolle定理.
注:若结论出现,则令.
注:若结论出现,则令.
题型三 非积分不等式
主要方法(1)构造,确定其单调性,求出端点的函数值或极限值,作比较即可.
(2)利用函数的凹凸性.
(3)利用函数的极值和最值----构造函数,比较值为极值或最值.
(4)利用中值法证明不等式.
例1、设,求证:(i) ; (ii) .
提示:(i)令或
(ii) 令,则,有.
例2、比较的大小.
提示:,比较的大小,取对数构造,易证.
例3、设二阶可导,当时,,且,,求证:.(提示:令,需两次求导)
例4、当时, . (令)
提示: .
例5、当时,求证:.
提示:令.
例6、当时, .
提示:令, 则当时, ,
故该函数的图形在内是凸的,又, 因此.
例7、设,求证:
提示:令要证,可证当时,单调增.
注1:令,可证时,单增,则.
注2:令要证,可证时,.
注3:设,证:.()
例8、若及,求证:.
提示:令,在上对应用拉氏定理.
例9、设,求证:.
提示:令,求其在的最值.
例10、在上,,且在内取最大值,求证:.
提示:设则,在对分用拉氏定理.
题型四 积分不等式
主要方法(1)应用定积分的不等式性质(比较定理,估值定理及函数绝对值积分不等式)(2)函数的单调性(凹性)(构造辅助函数) 积分中值定理
(3)微分中值定理(被积函数具有可导条件) 常伴于
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