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关于等式与不等式的基本证明.doc

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关于等式与不等式的基本证明 一、考试内容 (一)介值定理 介值定理:若在上连续,且,对于之间的任一个数, ,使.() 介值定理推论1(零点定理):若在上连续,且, 则,使.() 介值定理推论2(零点定理):若在内连续,且, 则,使.() 介值定理推论3(零点定理):若在内连续,且, 则,使.() 介值定理推论4:若在上连续, ,,且, 对于之间的任一个数,则,使.(可能取到或) (二)积分中值定理 定积分中值定理:若在上连续,则,使. 定积分中值定理推论1:设在上连续,且在上不变号, 则,使. 对于定积分中值定理及其推论1,可能取到或. (三)微分中值定理 罗尔中值定理:若在上连续,在内可导,且, 则,使. 罗尔中值定理的推广形式1:若在上连续,在内可导,且有个不同的零点,则在内至少存在个不同的零点. 罗尔中值定理的推广形式2:若在内可导,且, 则,使. 罗尔中值定理的推广形式3:若在上连续,在内可导,且, 则在内为单调函数. 拉格朗日中值定理:若在上连续,在内可导, 则,使. (四)不等式定理 凹凸不等式TH1: 则. 特别有. 凹凸性不等式定理2:当,且,若则. 积分不等式定理:若,则(),但反之不然. 特别有若,则(),但反之不然. 积分估值定理:若在()上连续, 则. 积分绝对值不等式定理:(). 二、典型例题 题型一 恒等式证明及其逆问题 主要方法:求导法、积分法(换元(序)、分部)、待定系数法、反证法 例1、设,求证:+. 证:易得,则. 例2、可积,证明:(1);(换) (2)并利用(1)计算. 例3、设为连续函数,且满足,求. 提示:, 两边对求导得,两边对再求导得. 例4、设为的原函数,当时,有,且,试求 . 解:,,由知, , , . 例5、可导, 为其反函数, ,证明:. 提示:令,则左右. 例6、设连续,证明:. 提示:, 则.(也可采用轮换性) 例7、若求与. 解:令,则 , 由上述两式解之得 . 例8、设在上连续,且,若,则在上,. 证明:用反证法,假设,则 ,则. 这与矛盾,故原式得证. 题型二 方程根的存在性与中值问题 主要方法:介值定理、微积分中值定理、反证法 (1)在或上连续,则 例1、设在上连续,且,证:使. 提示:设,则在上连续, ,,使 同理,由,使,故在上满足零点定理. 例2、在上连续, ,且, 求证:使.(此为的加权平均值) 提示: , 有. 进一步, 则,使.(此为在上的平均值) 例3、设是满足的实数,证:在内至少有一实根.(构造在上用罗尔Th) 例4、设为上的任一连续函数,且 求证:在内至少有一根. 提示:构造在上用罗尔定理;或用积分中值定理. (2)在或上可导,则 例1、设在连续,在上可导,且 , 试证: ,使.(提示:) 例2、设在连续,在上可导,且对于有 试证:,使 . 提示:令, 构造函数在上用罗尔Th. 例3、设在上连续,在上可导 求证:,使. 提示:(1)令,构造在上使用Lagrange (2)令,构造在上使用罗尔. 例4、设在上一阶可导, ,,, 证明:(1)存在,使;(2)存在,使. 提示:(1)由保序性,,使得,由零点定理知(1). (2)存在两个零点,则在上有两个零点,用Rolle定理. 注:若结论出现,则令. 注:若结论出现,则令. 题型三 非积分不等式 主要方法(1)构造,确定其单调性,求出端点的函数值或极限值,作比较即可. (2)利用函数的凹凸性. (3)利用函数的极值和最值----构造函数,比较值为极值或最值. (4)利用中值法证明不等式. 例1、设,求证:(i) ; (ii) . 提示:(i)令或 (ii) 令,则,有. 例2、比较的大小. 提示:,比较的大小,取对数构造,易证. 例3、设二阶可导,当时,,且,,求证:.(提示:令,需两次求导) 例4、当时, . (令) 提示: . 例5、当时,求证:. 提示:令. 例6、当时, . 提示:令, 则当时, , 故该函数的图形在内是凸的,又, 因此. 例7、设,求证: 提示:令要证,可证当时,单调增. 注1:令,可证时,单增,则. 注2:令要证,可证时,. 注3:设,证:.() 例8、若及,求证:. 提示:令,在上对应用拉氏定理. 例9、设,求证:. 提示:令,求其在的最值. 例10、在上,,且在内取最大值,求证:. 提示:设则,在对分用拉氏定理. 题型四 积分不等式 主要方法(1)应用定积分的不等式性质(比较定理,估值定理及函数绝对值积分不等式)(2)函数的单调性(凹性)(构造辅助函数) 积分中值定理 (3)微分中值定理(被积函数具有可导条件) 常伴于
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