高中数学竞赛中的初等数论分析.pdf
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初等数论中的几个重要定理 高中数学竞赛.doc
初等数论中的几个重要定理
基础知识
定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。
这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。
引理：；可用容斥定理来证（证明略）。
定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而也是与互质的个数，且两两余数不一样，故（），而（）＝1，故。
证明：取模的一个
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高中数学竞赛导辅初等数论不定方程.doc
数学奥赛辅导 第四讲 不定方程
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.
1．几类不定方程
（1）一次不定方程
在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.
定理一：二元一次不定方程为整数.有整数解的充分必要条件是.
定理二：若为①之一解，则方程①全部解为. （t为整数）。
（2）沛尔方程
形如（，不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设为该方程的正整
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高中数学竞赛数论.doc
高中数学竞赛数论
篇一：高中数学竞赛资料-数论部分
初等数论简介
绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。
1． 请看下面的例子：
（1） 证明：对于同样的整数x和y，表达式2x+3y和9x+5y能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞
赛第一题)
（2） ①设n?Z，证明132n?1是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n，能使1?2?3???n能整除1?2?3??n？（1956年上海首届数学竞赛第一题）
（3） 证明：n?3321n?n?1对于任何正整数n都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首22
21n?4
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高中数学竞赛_数论.doc
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高中数学竞赛 数论
剩余类与剩余系
1.剩余类的定义与性质
(1)定义1 设m为正整数，把全体整数按对模m的余数分成m类，相应m个集合记为：K0,K1,…,Km-1,其中Kr={qm+r|q∈Z,0≤余数r≤m-1}称为模m的一个剩余类(也叫同余类)。K0,K1,…,Km-1为模m的全部剩余类.
(2)性质(ⅰ)且Ki∩Kj=φ(i≠j).
(ⅱ)每一整数仅在K0,K1,…,Km-1一个里.
(ⅲ)对任意a、b∈Z，则a、b∈Kra≡b(mod
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初等数论在高中数学解题中的一些应用 .pdf
28 中学数学教学 2006 年第 5 期
初等数论在高中数学解题中的一些应用
( )
黑龙江省绥化市第一中学 姜浩瑞
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高中数学讲义：初等数论 同余.pdf
高中数学讲义：初等数论同余
目录
1.本讲概述1
1.1.同余的定义：1
1.2.剩余类与完全剩余系(简称完系)1
2.例精讲2
3.大显身手3
1.本讲概述
同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符号使得原来难以表述的很多数
论问表述起来简单清晰.利用同余符号，可以方便地处理各种复杂的数字相对
于另一数
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高中数学讲义：初等数论——整除性.pdf
高中数学讲义：初等数论一整除性
目录
1.本讲概述1
2.整除2
2.1.整除的定义2
2.2.数的整除特征2
2.3.整除的几条性质2
3.带余除法3
4.基本定义：奇数偶数素数合数最大公约数最小公倍数完全平方数阶乘3
5.自然数唯一分解定理约数个数公式4
6.例题精讲5
7.大显身手6
1.本讲概述
数论是数学中极其重要又非常迷人的一个分支，目前我们仅学习初等数论中
较浅的内容.
初等数论是数学竞赛四大模块中较难以掌握的模块之一，在数学竞赛中占据
极其重要的位置.特别是联赛改制以后，二试必考一道50分的数论大题，一试
也会有一到两道数论方面的问题.数论与组合水平如何是大家能否获得联赛一
等
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《竞赛数学中的初等数论》分析.pdf
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2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编(全国通用)专题16初等数论(学生版+解析).docx
备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划
专题16初等数论
全国联赛真题汇编
1．（2024·全国联赛A卷）设A,B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合，
(1)对任意非负整数k，有Ak
(2)若正整数n∈S，则n的每个正约数均属于
(3)若m,n∈S，且m,
(4)若n∈S，则
证明：与B互素的所有正整数均属于S．
2．（2024·全国联赛B卷）给定素数p,p≡2mod
(1)a,
(2)三个数ab+1,
3．（2024·全国联赛B卷）给定素数p,p≡2mod
(1)a,
(2)三个数ab+1,
4．（2023·全国联赛A卷）正整数n称为“好数”，如果对任意不同于n的正整数m，均有2n
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高中数学专题14 初等数论 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版.pdf
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【高中数学竞赛真题强基计划真题考前适应性训练】
专题14初等数论真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）
一、单选题
12021··2021123n
．（北京高三强基计划）年是北大建校周年，则满足建校周年的正整
n能整除对应年份的n的个数为（）
A．4B．8C．12D．前三个选项都
不对
22021··abn(a-1)(b+2)=n-2
．（北京高三强基计划）设，是正整的正因数，使得，
n
则可以等于（）
AB．2´
C．3´D．前三个选项都不对
32021··2020
．（北京高三强基计划）2019在十进制下的末两位数字是（）
A．01B．21C．81D．前三个选项都
不对
42021··
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高中数学联赛初等数论专题练习(带答案详解版)-.pdf
高中数学联赛初等数论专题练习（详解版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名
xRxxyx
字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高
0.511.51xx0x2
斯函数，例如：，，已知函数f(x)14324（），
2
则函数yf(x)的值域为（）
－
A．13{}
B．1,0,1C．-1,0,1,2D．0,1,2
，
22
5
2．设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]2，[]1），对于给定的nN*，定义
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清北学堂 2015寒假高中数学 集训一 初等数论导学 .pdf
北京清北学堂教育科技有限公司 电话：010010网址：
2013 寒假集训一初等数论导学，内容是高中大纲中没有，但是中学数学竞赛大纲中提出
要求的内容，需要引起同学们注意，希望能提前做好预习和学习准备.
一、整除与余数
知识点
整数的整除性
初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合. 我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且
这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，
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高中数学第14讲数论+同余（上）.doc
PAGE8
高一·联赛班·第5讲·学生版
第五讲初等数论2同余
本讲概述
同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符号使得原来难以表述的很多数论问题表述起来简单清晰.利用同余符号，可以方便地处理各种复杂的数字相对于另一数的余数这一类问题.本讲将着重讲述同余的基本性质，并利用这些性质来解决各类同余的典型问题.此外，基于同余，还给出了剩余系与完系的概念.尽管联赛大纲没有明确对这两个概念作要求，但是有了对剩余系的基本认识后对很多问题处理起来会更为方便.
同余的定义：
设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不同余.（用符号上面加一
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高中数学竞赛中的数学推理与数论问题解析探究教学研究课题报告.docx
高中数学竞赛中的数学推理与数论问题解析探究教学研究课题报告
目录
一、高中数学竞赛中的数学推理与数论问题解析探究教学研究开题报告
二、高中数学竞赛中的数学推理与数论问题解析探究教学研究中期报告
三、高中数学竞赛中的数学推理与数论问题解析探究教学研究结题报告
四、高中数学竞赛中的数学推理与数论问题解析探究教学研究论文
高中数学竞赛中的数学推理与数论问题解析探究教学研究开题报告
一、研究背景与意义
随着我国教育改革的不断深入，高中数学竞赛在培养学生创新思维、逻辑推理能力及数学素养方面发挥着重要作用。数学推理与数论问题作为高中数学竞赛的重要组成部分，对学生的数学思维能力提出了较高要求。然而，在实际教
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全国高中数学联赛数论历年真题精选.doc
全国高中数学联赛数论历年真题精选(2014.09.01)
（2013年全国高中数学联赛试题）
二、（本题满分40分）给定正整数.数列定义如下：，对整数，
记（）.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.
提示：由对称性和和谐性，求，发现和之间的递推关系，为了拉近和间的关系，最好是某个数列的相邻两项，于是想到，故考虑令，就有了的通项公式.于是令
参考答案没有给出思维过程，需要大家深入思考，去领悟问题的本质，做二试题一定要达到看答案觉得那是自然的解答过程才算理解了。
（2012年全国高中数学联赛试题）
下面给出（2）的几种证法.
证法一:令消去得
由于这方程必有整数解;其中为方程的