线性代数与1-2-习题课 .ppt

中值定理与导数的应用 １、全排列 ２、逆序数 ３、计算排列逆序数的方法 ４、对　换 ５、n阶行列式的定义 ６、n阶行列式的性质 ７、行列式按行（列）展开 ８、Cramer(克拉默)法则 二、典型例题 （一）计算排列的逆序数 (二)计算（证明）行列式 （三）Cramer法则 第1章 　测试题 测试题答案 可逆矩阵的性质 分块对角矩阵和分块三角矩阵 例6： 二、计算下列行列式(每小题9分，共18分)． 有非零解？ 三、解答题(9分)． 四、证明(每小题8分，共24分)． 五、(9分) 设 行列式 求第一行各元素的代数余子式之和 第 2 章 矩阵 习 题 课 一、主要内容 二、典型例题 三、测试题 一、主要内容 1 向量的概念与运算 2 矩阵的概念与运算 cij?ai1b1j?ai2b2j? ??? ?aisbsj (i?1, 2, ??? , m；j?1, 2, ???, n) . a11 a12 ??? a1s ??? ??? ??? ??? a21 a22 ??? a2s am1 am2 ??? ams b11 b12 ??? b1n ??? ??? ??? ??? b21 b22 ??? b2n bs1 bs2 ??? bsn c11 c12 ??? c1n ??? ??? ??? ??? c21 c22 ??? c2n cm1 cm2 ??? cmn = ? ai1b1j?ai2b2j? ??? ?aisbsj . (ai1 ai2 ? ? ? ais ) b1j b2j ??? bsj 条件： A的列数等于B的行数，AB才有意义; 结果： C的行数等于A的行数，列数等于B的列数. 过程： 向量的内积 因此， cij 可表示为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积. (1).矩阵的乘法 cij? 下页 应注意的问题 (1) AB?BA ； (3) AB=O A=O或B=O ； / ? (2) AC=BC A=B； / ? 矩阵乘法的性质 (4) AA=A A=E或A=O . / ? (1) (AB)C=A(BC)； (2) (A+B)C=AC+BC； (3) C(A+B)=CA+CB； (4) k(AB)=(kA)B=A(kB) . 下页 定义 设A是n阶方阵，由A的元素构成的n阶行列式 称为方阵A的行列式，记为|A|或det A . 性质：设A、B为n阶方阵，k为数，则 (1) |A|=|AT|; (3) |AB|=|A||B| . (2) |kA|=kn|A|; (2). 方阵的行列式 显然， |E|=1 . 一般地，若A1,A2,…Ak都是n阶方阵，则 显然 下页 3. 逆矩阵 定义 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 AB?BA?E， 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵. n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|?0，而且 其中A*为方阵A的伴随矩阵. = — A*， 1 |A| A-1 方阵可逆的充分必要条件 推论 设A，B都是n阶矩阵，若AB=E ，则必有BA=E； 若BA=E ，则必有AB=E. (3)若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )?1?B ?1A?1. (2)若A可逆，数l?0，则lA 可逆， 且(lA )?1?l?1A?1. (1)若A可逆，则A?1也可逆， 且(A?1)?1?A. (4)若A可逆，则AT也可逆， 且(AT )?1?(A?1)T . (5) |A?1|=|A|?1 . 下页 4 分块矩阵 (1). 列分块矩阵 (2). 行分块矩阵 设A是一个m×n矩阵，B是一个n×s矩阵，将B的每一列分 成一个子块，变为列分块矩阵，即 此时把A看作只有一块的矩阵，则 Abj (j=1,2,..,n)有意义,从而有 下页 特殊分块矩阵的乘法 (验证，见下例.) 设A是n阶方阵，如果A的分块矩阵除主对角线上有非零子块外，其余子块都是零子块，即 都是方阵，则称方阵为分块对角矩阵， 其中， 或称为准对角矩阵. 下页 设有两个分块对角矩阵 其中，A,B同阶，且子块Ai，Bi同阶，i=1,2,…,s，可以证明 （1） （2） 下页 提取第一列的公因子，得 　　评注　本题利用