信息论第二章答案概要.doc

2.1 试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？ 解： 四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3} 八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：{0, 1} 假设每个消息的发出都是等概率的，则： 四进制脉冲的平均信息量 八进制脉冲的平均信息量 二进制脉冲的平均信息量 所以： 四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。 2.2 一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问 (1) 任一特定排列所给出的信息量是多少？ (2) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？ 解： (1) 52张牌共有52！种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是： (2) 52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下： (a)p(xi)=52/52 * 48/51 * 44/50 * 40/49 * 36/48 * 32/47 * 28/46 * 24/45 * 20/44 * 16/43 * 12/42 * 8/41 * 4/40=1.0568E-4 (b)总样本：C1352, 其中13点数不同的数量为4*4*4*…*4=413。所以，抽取13张点数不同的牌的概率： 2.3 居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解： 设随机变量X代表女孩子学历 X x1（是大学生） x2（不是大学生） P(X) 0.25 0.75 设随机变量Y代表女孩子身高 Y y1（身高160cm） y2（身高160cm） P(Y) 0.5 0.5 已知：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即： 求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即： 2.4 设离散无记忆信源，其发出的信息为(202120130213001203210110321010021032011223210)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？ (2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？ 解： (1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是： 此消息的信息量是： (2) 此消息中平均每符号携带的信息量是： 2.5 从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：“你是否是色盲？”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？ 解： 男士： 女士： 2.6 设信源，求这个信源的熵，并解释为什么H(X) log6不满足信源熵的极值性。 解： 不满足极值性的原因是。 2.7 同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息； (3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。 解： (1) (2) (3) 两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 共有21种组合： 其中11，22，33，44，55，66的概率是 其他15个组合的概率是 (4) 参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下： (5) 2.8证明：H(X1X2 。。。 Xn) ≤ H(X1) + H(X2) + … + H(Xn)。 证明： 2.9 证明：H(X3/X1X2) ≤ H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。 证明： 2.10 对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，调查结果得联合出现的相对频度如下： 若把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵； (2) 天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵； (3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。 解： (1) 根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下： (2) 设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z (3)